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1、相对论四维时空下的守恒量PB06203015 谢家荣一 在相对论三维空间中的守恒量在相对论三维空间推算质量公式时以用到了动量守恒，而质量守恒又与能量守恒相联 系。我们知道，牛顿力学里还有一个守恒量，角动量守恒还未出项。在下文中，我将尝试考 虑角动量守恒。f jjk角动保义为：L=JxiyiziPxiPyiPzi j如果从另一个参考系来看，不能直接用洛仑兹变换，因为守恒量是对时间而言的，是量 在相同的时间内相加。但同时形式相对的，在k系看来是同时的在 k看来并不一定同时，如果直接用洛仑兹变换再相加的话，那么从k看来就是在不同时间的相加，也就没什么意义。如果要考虑k系的角动量，必须先找到从 k来看
2、同时发生的事件。fijk、xyPxiPyi Pzij这里的i,j,k 是不变的，因为k用他那个坐标下的基矢来算。但要找这样的，Xi，y，Zi，很复杂，还与具体的轨迹有关，而动量的三个分量就更复杂了。在相对论四维时空中， 四维动量以包含了三维空间中的的动和能量守恒，角动量也未出现。二引入三目运算符在以往的三维空间中，角动量定义为：L=rXp这个是不能直接引入到四维时空的，因为矢量的外积使用行列式定义的，若r p为四维矢量，还没有定义rxp的运算。既然是讨论四维时空，数学就不应限于三维。若要引入守恒量， 要先解决外积的问题。有如下方法：1 .推广行列式的运算，不要求行列式行数与列数相等。但这样会出
3、现x y z之间的不等价，有的坐标含有 t,有的没有。这是我不希望的。2 .外积是双目运算符，可以定义一三木运算符从而使行列式的运算可以进行。定义:j k lya za wa yb zb wb yc zc wcixaY(a,b,c)=xbxc则Y(a, b,c)是一四维矢量。三三目运算符的性质三目运算符有如下性质，都可用行列式的性质证明:1. Y(i ,j ,k) = -lY(j ,k,l )=iY(a,l,i )=-jY(l ,i ,j )=k这样的结果不太令人满意，如果先前定义i -j k -lxaya za wa yb zb wbxc yc zc wc则上四式的结果为l i j k但下面
4、某个性质就没有了。2. Y(a, b,c) = Y(b, c, a) = Y(c, a, b) =- Y(a, c, b) = Y(c, b, a) = Y(b, c, a)3. Y(u1* a1+u2*a2, b, c)=u1*Y( a1, b, c)+u2*Y( a2, b, c)4. a - Y(a, b, c)=0这个性质在xaY(a,b,c)= uxbxc-j k -lya za wa下是没有的yb zb wbyc zc wc5.若 a 平行于 b Y(a, b, c)=0.6.若 sin =Y(a,b,c),cos：1 = ：b,c ,cos：2=：c,a ,cos：3=：a,b则
5、 sin -、1 - cos2 ： 1 -cos2 ： 2 - cos2 ： 3 2*cos :- 1*cos ： 2*cos ： 3这个性质证起来很麻烦，可以这样去想。对 Y(a, b, c)进行正交变换，使 a=xa*i; 然后算起来少了很多项，就可以验证。四更改四维坐标时空间隔定义为:cA 2* tAxAyAzA2为了满足矢量运算，定义：r= cti+ixj +iy k+izl设t(4)x(4) y(4)z(4)为事件A在四维时空中的坐标x(3) y(3) z(3) 为地点B在三维空间中的坐标则 x(4)=ix(3) x(3)=xy(4)=iy(3) y(3)=yz(4)=iz(3) z
6、(3)=zA与B的关系是事件 A发生在地点BU =Y(r1,r2,p)二 r = (ct,ix,iy,iz)u = ( c, i vx, i vy,i vz)p =(巨,ipx,ipy ,ipz) c这样对原来的守恒量不改变，并且按内积：r | = Jr* r = iycA2*tAxAyAzA2这样定义对数学运算会符合些。五该找哪三个量该找哪三个量，我遇到了很大的困难，到现在也不知道找哪三个才合适，但还是试着找了一些，尽管我找的什么意义。在三维空间中 L=r p稀 dr而p= mdt如果类推下去，找三个量，应找r p a ,但 a 很奇特 a = (0, iTYax,iHay,i 抻az)并不
7、是洛仑兹不变量。而且，既然相对论抛弃了力，也不应用加速度。回过头来，再看看三维空间中的角动量，表示质点绕一定点运动。而在四维时空中，所谓的点就是事件，角动量也应表示质点绕事件运动。质点的运动在四维时空中为一轨迹，角动量可表示轨迹上各事件的四维速度与事件的关系。但也只有两个量，我的想法是，质点绕两事件运动，即 L= Y( r1 , r2,p )r1 r2表示事件A1 A2到质点轨迹上某点的矢量，p表示质点在轨迹上该点的四维速度A1 A2为固定事件六在 L= Y(r1,r2,p)下1. L是洛仑兹不变量L，=|r1|r 2 p *sin e=r1 r2| p * 】1-cos2a1-cos22-c
8、os2a3+ 2*cos a1*cos a2*cos 口3r1r2 p是洛仑兹不变量r1 - r2, r1 - p, r2 - p都是洛仑兹不变量二cosa1,cosa2,cosa3是洛仑兹不变量L是洛仑兹不变量2. 在质点系不受外界作用时，四维时空中L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒在三维空间中，守恒量为质点在相同时间下的相加，而对于四维时空，每个质点都有一轨迹，该把各轨迹上的哪些点相加呢？在四维时空中，时间不是那么重要，重要的是实空间隔，因此，应当找各轨迹上与某一事件有相同的是空间隔的事件相加，即L = Z Li (E )。但这样会出现一些问题：1.这一事件很特殊，不过可以与质点
9、绕的两事件联系起来，其中一事件就是四维球心，这样L 会有意义一些。2.有些轨迹上并没有该时空间隔的事件，甚至有的质点到该点的时空间隔没有相等的事件。3.没有发现什么守恒关系，这是关键。不过，尽管时空间隔比时间更重要，但守恒律是对于什么而言的呢？我也不知道，似乎是时间。最后，我还是找了把各轨迹上按时间相同相加，即L = Li(t).(1)从三维空间中能量，动量，角动量守恒推四维时空中LH亘设j k l 为四维时空的x y z 三个方向的基矢，也是三维空间的三个基矢。L= 、 Y(r1 i, r2 i ,p )= 、Y( r1 i- r2 i, r2 i ,p )+ Y( r2 i, r2 i ,
10、p )= 、Y(r0, r2 i ,p )r1i r2i =r1 r2 =r0 =(ct0,ix0,iy0,iz0)设 r 2i = (cti, ixi, iyi, izi)、 (ct*pzi-Ei/c*zi)=、 (ct*pzi0-mi*c*zi) =c、 (t* pzi - mi* zi) = c、(t*pzi)-czc、midc (t* pzi-mi* zi) c*t*dQ pzic* dz； midtdtijklct0ix0iy0iz0ctixiiyiiziEi,ipxi,ipyi,ipzicL八j k lik lij l_ct0* ixi iyi izi玉x0*ct iyi izi_
11、iy0* ct ixi iziipxi ipyi ipziEi/c ipyi ip ziEi/c ipxi ipziH4z0* ctEi/cixiipxikiyiipyi右式中有四项，第一项由角动量守怛推得为守怛量。 由角动量守恒yipxipyipzi )yi,zi pyi, pzixi,yi pxi, pyizi,xipzi, pxi分别守恒L*所以第二项为:-ix0 *i yi,zipyi, pzi+x0* k* 、 (ct*pzi-Ei/c*zi)-x0* l (ct*pyi-yi*Ei/c)第一小项由角动量守恒推得守恒, 第二小项：(ct*pzi-Ei/c*zi)= % (ct*pzi
12、0-mi*c*zi) =S (t* pzimi* zi) = S (LpzDczmidc、(t* pzimi* zi)c*t*d(、 pzic* dz； midt一dt因为 pzi与， mi守恒，所以上式等于 0,即第二小项守恒，同理第三小项守恒。同理L的第三，第四项守恒。所以 L守恒。但守恒是有一定条件的，例如，角动量守恒的条件视为对该给定的总力矩之和为0,而L守恒的条件应当是三个守恒量的条件之和，起码这是个充分条件。 特别地，质点系不受外界作用满足所有条件。(2)从四维时空中L守恒推三维空间中能量，动量，角动量守恒L对任意事件A1,A2成立取 r0=(ct0,0,0,0)ct0L=ctix
13、i iyi iziEi,ipxi,ipyi,ipzi c推得角动量守恒取 r0=(0,ix0,0,0)j k lj k l-ct0* Zixi iyi izi= ct0* Zxi yi ziipxi ipyi ipzipxi pyi pzi-x0*k、(zi*Ei/c-ct*pzi)-x0* k*( c*mi-ct* pzi)L= ix0*、ct iyiEi/c ipyiiziipzi= ix0*i 、yi zi pyi pzi-x0*k、(zi*Ei/c-ct*pzi)+x0*l % (ct*pzi-pyi*Ei/c)第一项守恒，第二项也守恒:-x0*k M (zi*Ei/c-ct*pzi)
14、=-x0* k*( c*二：mi -ct* M pzi)第二项对时间求导:d M mi c*( zc*-t*dtz与A2选择有关，可选择另一 A1,A2,使r 0不变，但zc改变，而质量，动量只与速率有关与A1,A2，无关，d mi,dpz不变，所以得质量守恒与pz守恒，同理得px,py守恒。所以，当质点不受外界作用时，四维时空中L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒从上面推出，从 k系看四维时空中L与亘等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒。如 果从k系来看，同样推出 k系的L守恒等价于三维空间中能量，动量，角动量守恒。而如 果从各个惯性系来看，能量，动量，角动量守恒，则各个惯性系的L都守恒。注意，并不能从k系来看L守恒与L是洛仑兹不变量来推导各个惯性系的L都守恒，因为L 的方向从k来看可能在变，而且直接用洛仑兹变换的话 k把在k来看不同的事件下的各量相加，没有什么意义。七并没有什
