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1、17联赛导引(三) 三角 向量 复数一,基础知识导引, 三角函数(一),三角函数基础公式.( 诱导公式,二倍角公式,半角公式,和差化积公式,积化和差公式)(二),有关的公式,定理:在 中,R 为外接圆半径 , 为内切圆半径, ,则ABCr2abcp1,正弦定理: ,2sinisinabcRBC2,余弦定理: , , .22oA2cosbaB22cosabC3,射影定理: , , .ccsAsA4,面积: 21sinini4aShbrpCR= =(i)rRBC()()abpc.222cottcot4A5,一个重要不等式:若 ,则 ,(0)xsinax6,一个重要等式: ,其中 , 由点2sinc
2、i()abbtanb(,)a所在的象限与比值确定.(三),三角函数的最值:, (或 )型: 用 (或 )求解.但要注意siyxcosyx1six1cosx的正负; , 型,运用重要等式(6)求解; ainab 2insiyabxc(或 )型: 设 (或 ),则 ,化为二次函数的最2cosyxcsintxcostt问题; , (或 )型:解出 (或 ),用 (或indobydinxs1six)求解,或用分离常数法 ; , (或 )型: 整理后1csxscaycoinabyd运用重要等式(6)求解; ,含有 型:设 ,sinoixxstx将 转化为 的关系式,化为二次函数的最值问题.sinot,
3、平面向量:(一),向量加减法中的三角形法则与平行四边形法则.(二), 向量加减运算:(三),实数 与向量 的积:a1,当 时, 与 同向;2 当 时, 与 反向;3 当 时, .00a0a(四),平面向量的数量积:18设两个非 0 向量 , ( )是 与 的夹角,则12(,)()axyb0018ab= .cosab2(五),有关的公式,定理.1,平面向量基本定理:如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向12e量 ,有且只有一对实数 ,使 .a12ae2,两个非 0 向量的平行与垂直的充要条件:, (或 );, (或 )./b1210xy0ba120xy3,线段的定比分点坐标公
4、式:设 , , ,且 ,则()p1()xy2)pp,中点公式 .12xy12y4,平移公式:如果点 按向量 平移至点 ,即(,)px(,)ahk()px(,)pahk= ,整理可得: .(,)xyy, 复数:1,复数的四种表示形式(1),代数形式: , , ;(,)zabiRe(),Im()azb2zab(2),几何形式:复平面上点 或向量 , 表示两点 之间的距离;ZOZ1212,(3),三角形式: , ;(4),指数形式: .(cosin)zr,argrzizre2,复数的四则运算.3,复数的模,共轭复数及性质(1), ;(,)abicdiaRabcd且(2), ;zRz是 纯 虚 数 =
5、-z(0)(3), ; ; ;1212nn121212z2zz.12()()()zzz(4), , , .221121Re(,Im)zz19二,解题思想与方法导引1,函数与方程思想, 2,数形结合思想, 3,换元法, 4,配方法, 三,习题导引, 选择题1,若非零复数 满足 ,则 的值是,xy220xy205205()()xyA,1 B, C, D,14 2042,设复数 的共轭复数是 ,且 ,又 与 为定点,则函数 zz(1,)A()B()fz1)取最大值时在复平面上以 ,A,B 三点为顶点的图形是()iA,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形3, ,其中 为定值,
6、当 增加时,函数22cos()cos()cosyxxx的值是A,恒为定值 B,逐渐增加 C,逐渐减少 D,变化不定4,关于 的方程 至少有一个解,则实数 应满足x2 21cs()3sin()xxaaA, B, C, D,12a1a125,M,N 在 的斜边 AB 上, , ,那么 M,N 两点分别到两直角边的距RtABC4AMBN离之和与 的周长之比的最大可能值是A, B, C, D,1043510351351456,若函数 ,对任意 都使 为常数,()sincoscos2nnfxxxxR()fx则正整数 应为A,1 B,3 C,3 或 1 D,不存在, 填空题7,如果函数 的图像关于直线 对
7、称,则 的值是 .1()sin2cosfxax2xa8,已知 为正整数,则以 3,5, 为三边长的钝角三角形有 个.n9,在复平面内,设点 A,P 所对应的复数分别为 2, ,则当 由00sin(6)(6)ticostt015变到 时,向量 所扫过的图形区域的面积是 .045AP10,当 时,关于 的方程 的两x2si2(sincs)x根的平方和有最大值.11,设平面上的向量 满足关系 , ,又设 与 的模为 1,且互相,abyayxbyab20垂直,则 与 的夹角为 .xy12,已知 ,则 的最小值,(0)222(6sin3ta)(6cos3t)是 ., 解答题13,求函数 的值域.4242
8、11yxx14,设函数 , ,若当 时,1()2xfR022(cosin)fm恒成立,求实数 的取值范围.(0fmm15, 设 A，B ，C 分别是复数 Z0=ai, Z1= +bi, Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数) 对应的不共线的三点证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (tR) 与ABC 中平行于 AC 的中位线只有一外公共点，并求出此点21四,解题导引1,A ,得 或 .2()10xy132xiy132xiy(1)当 时,原式=3i05052052051()()()()11xy= = ;2052051()()2050()()()(2)当
9、 时,同理可得:原式=1.3xiy2,D 因为 ,可设 ,则1zcosinz2()21sin()4fz,当 时, ,此时 ,则12sin()42()4kZmax(fzi, ,222(1)(ZA 222()1)B 2AB所以 = ,得 为等腰三角形.BZA3,A cos2cs(2)coss()xxy x=1()= coss()ins()2cso()xxx= = . 21in4,C 设 ,则 ,即2xt2cos3sin2tat,得 ,而 ,3sin1t()221()0xxt有 ,从而 ,由 ,得 .2(,431cs3taa5,A 设 ,且 于 E, 于 D, 于 G, 于 F,5ABMEACDBN
10、GACFB则 , , , , , ,cosCin4ossinME2cos3sinNGA所求比例 ,于是2i6c4is555y,(54)sin(6)coy22ab1由 ,解得 .222(54)(6)(5)yy104356,B 因为 ,故 ,由 ,0ffx 2()sincoscos0nnf知 为奇数,于是 ,得 ,即 .n2cosn2k1k故 或 3,但 时, 不恒为 0.不合题意舍去,故 .1()1cosfxx3n7, 由题意知 在点 处取得最大值或最小值 ,于是得32f221()a,整理得 ,解得 .11sincos()6aa2430a38,2 个 (1)当 时,以 1,3,5 与 2,3,5
11、 为边长均不能构成三角形 ;3(2)当 时,即 ,以 3,4,5 为边长构成的是直角三角形 ,不合题意;54n(3)当 时,设边长为 的边所对的钝角为 ,由余弦定理有 :n2235cosn又 ,得 ,即 ,又 ,得 或 7.1cos023102346n69, 因为 ,6 00in(26)sin(6)cos(15)sin(152)tttt当 时,在单位圆上的点为 ,当 时,在单位圆上的点为015t012,inP4,A(2,0), , 三点围成的曲边形面积易求得 .02(cosi)P 610, ,(4kZ2(sicos)in20xx1212nsinco,x= = ,21(i)sixicos2in(
12、)4当 时, .4k21max211, 由已知解得 ,6arcos3,by由 2221()3cos可得 的值.2312, 是平面点 A 与 距离的平方,12(3)y(6sin,cos)(3tan,cot)B而 A 在圆 上,B 在双曲线 上,由方程组求得2x9xy2229()6)(186)(3)By13,解: 222213()()(yxx构造向量 , ,则 ,而 ,2()p213()qypq(10)所以 ,得 ,y另一方面:由 ,得 ,22221313()()(xx0y所以原函数的值域是 .0,14, 由 ,知 是奇函数,1()1()2()xxf ffx而 11lnl2ln2l0x得 在 R
13、上为增函数,则有()fx,令 有2cosimsit, 恒成立.(1)0t将转化为: ,22()t01t(1)当 时, ;tR(2)当 时, ,由函数 在 上递减,知012()()mhtt2()gx(01当 时, ,于是得 .taxt1综(1),(2)所述,知 .224OABCDE 1 xy0.515,解:设 ,则(,)ZxyiR实虚部分离,可得4241coscosin(1)siniatbitct ,22ninxtt 2()(01)yaxbxx即 2()()ycbx又因为 A,B,C 三点不共线,故 ,可知所给曲线是抛物线段(如图)0cAB,BC 的中点分别是 ,1(,)4abD,所以直线 DE 的方程为3(,)42bcE(32)yaxbc由,联立得 21(0x由于 ,得 ,0c注意到 ,所以,抛物线与1342ABC平行于 AC 的中位线 DE 有且只有一个公共点 ,此点的坐标为 ,其对应的12(,)4acb复数为 .acbZi
