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1、第一章 随机事件与随机事件的概率1.1随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下则出现两次面向相同的事件 A 与两次面向不同的事件 B 都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6则出现偶数点的事件 A，点数 4 的事件 B 都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用 A、B、C 表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机
2、事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用 表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6 的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用 表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数 1,2,3,4,5,6 分别是基本事件，或叫样本点
3、。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作 ，当然 是必然事件。（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B 发生，就说事件 B 包含事件 A，记作 。例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数 2，B 表示掷出的点数3。A=1，2 ，B=1，2，3 。所以 A 发生则必然导致 B 发生 。显然有（2）事件的相等：若 ，且 就记 A=B，即 A 与 B 相等，事件 A 等于事件B，表示 A 与 B 实际上是同一事件。（四）事件的运算 （1）和事件：事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的事件叫事件 A 与事件 B 的和事件，记作：或 A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，
4、5 ；B=1，2，3则和事件 A+B=1，2，3，5显然有性质若 ，则有 A+B=BA+A=A（2）积事件：事件 A 与事件 B 都发生的事件叫事件 A 与事件 B 的积事件，记作：AB 或AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=1，2，3 ，则 AB=1，3显然有性质：若 ，则有 AB=AAA=A（3）差事件：事件 A 发生而且事件 B 不发生的事件叫事件 A 与事件 B 的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=1，2，3 ，则 A-B=5显然有性质：若 ，则有 A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B 不能都发生，就说事件 A 与事件
5、 B 互不相容（或互斥）即 AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ；B=2，4AB=（5）对立事件：事件 A 不发生的事件叫事件 A 的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5 ，则显然，对立事件有性质：注意：A 与 B 对立，则 A 与 B 互不相容，反之不一定成立。例如在考试中 A 表示考试成绩为优， B 表示考试不及格。A 与 B 互不相容，但不对立。下面图 1.1 至图 1.6 用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间 。图 1.1 表示事件 事件 A图 1.2 阴影部分表示 A+B图 1.3 阴影部分表示 AB图 1.4 阴影部分表示 A-B图 1.
6、5 表示 A 与 B 互不相容图 1.6 阴影部分表示事件的运算有下面的规律：（1）A+B=B+A，AB=BA 叫交换律（2） （A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A （BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B） （ A+C）=A+BC 叫分配律（4） 叫对偶律例 1，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示以下事件。（1）A，B，C 三事件中，仅事件 A 发生【答疑编号：10010101 针对该题提问】（2）A，B，C 三事件都发生【答疑编号：10010102 针对该题提问】（3）A，B，C 三事件都不发生【答疑编号：10010103 针对该题提问】（4）A，B，
7、C 三事件不全发生【答疑编号：10010104 针对该题提问】（5）A，B，C 三事件只有一个发生【答疑编号：10010105 针对该题提问】（6）A，B，C 三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106 针对该题提问】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例 2.某射手射击目标三次：A 1 表示第 1 次射中，A 2 表示第 2 次射中，A 3 表示第 3 次射中。B 0 表示三次中射中 0 次， B1 表示三次中射中 1 次， B2 表示三次中射中 2 次，B 3 表示三次中射中 3 次，请用 A1、A 2、A 3 的运算来表示 B0、B 1、B 2、B 3【答疑编
8、号：10010107 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例 3 ，A，B，C 表示三事件，用 A，B，C 的运算表示下列事件。（1）A，B 都发生且 C 不发生【答疑编号：10010108 针对该题提问】（2）A 与 B 至少有一个发生而且 C 不发生【答疑编号：10010109 针对该题提问】（3）A，B，C 都发生或 A，B，C 都不发生【答疑编号：10010110 针对该题提问】（4）A，B，C 中最多有一个发生【答疑编号：10010111 针对该题提问】（5）A，B，C 中恰有两个发生【答疑编号：10010112 针对该题提问】（6）A，B，C 中至少有两个发生【答疑编号：10
9、010113 针对该题提问】（7）A，B，C 中最多有两个发生【答疑编号：10010114 针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6） 简记 AB+AC+BC（7） 简记例 4，若 =1，2，3，4，5，6 ；A=1，3，5 ；B=1，2，3求（1）A+B ；【答疑编号：10010115 针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116 针对该题提问】（3） ；【答疑编号：10010117 针对该题提问】（4） ；【答疑编号：10010118 针对该题提问】（5） ；【答疑编号：10010119 针对该题提问】（6） ；【答疑编号：10010120 针对该题提问】（7） ，【
10、答疑编号：10010121 针对该题提问】（8） 。【答疑编号：10010122 针对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5 ；（2）AB= 1，3 ；（3） =2，4，6 ；（4） =4，5，6 ；（5） =4，6 ；（6） =2，4，5，6 ；（7） =2，4，5，6 ；（8） =4，6由本例可验算对偶律， = ， = 正确例 5， （1）化简 ；【答疑编号：10010123 针对该题提问】（2）说明 AB 与 是否互斥 【答疑编号：10010124 针对该题提问】解：（1）（2）例 6.A，B，C 为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125 针对该题提
11、问】（2） ；【答疑编号：10010126 针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127 针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128 针对该题提问】解：（1）ABC 表示事件 A，B ，C 都发生的事件（2） 表示 A，B 都发生且 C 不发生的事件（3）AB 表示事件 A 与 B 都发生的事件，对 C 没有规定，说明 C 可发生，也可不发生。AB 表示至少 A 与 B 都发生的事件（4）所以也可以记 AB 表示，ABC 与 中至少有一个发生的事件。例 7.A，B，C 为三事件，说明（ AB+BC+AC）与 是否相同。【答疑编号：10010129 针对该题提问】解：（1） 表示
12、至少 A，B 发生它表示 A，B，C 三事件中至少发生二个的事件。（2） 表示 A，B，C 三事件中，仅仅事件 A 与事件 B 发生的事件表示 A，B，C 三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。1.2随机事件的概率（一）频率：（1）在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生了 nA 次，则事件 A 发生的次数 nA 叫事件 A 发生的频数。（2）比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A） ，即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用 A 表示出现正面的事件： 试验人 n n A f n（A）摩根 2048 1061 0.5181蒲丰 4
13、040 2048 0.5069皮尔逊 12000 6019 0.5016从上表可见，当试验次数 n 大量增加时，事件 A 发生的频率 fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件 A 的频率fn（A）的稳定值大约是 0.5。（二）概率：事件 A 出现的频率的稳定值叫事件 A 发生的概率，记作 P（A ）实际上，用上述定义去求事件 A 发生的概率是很困难的，因为求 A 发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件 A发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件 A 发生的概率 P（A ）就是事件 A
14、 发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我们不加证明地介绍事件 A 的概率 P（A ）有下列性质：（1）0P（A） 1（2）P（）=1 ，P（）=0（3）若 A 与 B 互斥，即 AB=，则有P（A+B）=P（A）+P（B ）若 A1，A 2，A n 互斥，则有（三）古典概型：若我们所进行的随机试验有下面两个特点：（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有 6 个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是 1/6，所以相等，这种试验是古典概型。下面介绍古典概型事件的概率的
15、计算公式：设 是古典概型的样本空间，其中样本点总数为 n，A 为随机事件，其中所含的样本点数为 r则有公式：例 1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件 A 的概率。【答疑编号：10010201 针对该题提问】解：样本空间为 =1，2，3，4，5，6 ；A=1，3，5n=6,r=3例 2.掷三次硬币，设 A 表示恰有一次出现正面，B 表示三次都出现正面，C 表示至少出现一次正面，求：（1）P（A ） ；【答疑编号：10010202 针对该题提问】（2）P（B） ；【答疑编号：10010203 针对该题提问】（3）P（C）【答疑编号：10010204 针对该题提问】解：样本空间 =正正正，正正反，正
16、反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反 ；（1） （2）（3） 由于在古典概型中，事件 A 的概率 P（A ）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数 n 和事件 A 包含的样本点的个数 r 就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出 n与 r 的数值即可。例 3，从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数码中，取出三个不同的数码，求所取 3 个数码不含 0 和 5 的事件 A 的概率。【答疑编号：10010205 针对该题提问】解：从 10 个不同数码中，任取 3 个的结果与顺序无关，所以基本事件总数 A 事
