教育部参赛-《椭圆及标准方程》-申潜

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1、11全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计 贵州省开阳县楠木渡镇中学 申潜（电话：15180748107）邮编：550307高中数学椭圆及标准方程 一、 教案背景1、面向高二学生 2、学科：数学3、课时：1 课时4、学生课前准备：（1） 、巩固曲线轨迹方程求解方法。（2） 、预习椭圆的标准方程了解椭圆的定义。（3） 、自学椭圆焦点在 轴上的标准方程的推导过程，以及焦点在 轴上椭圆的标准方程。x y（4） 、自学教材中的例题，思考课后练习题目。（5） 、让学生自主探索，动手实践、自主学习等学习的方式，提出自学中遇到的问题。二、 教学课题教养方面：1、 学会椭圆的画法，掌握椭圆的

2、定义。2、 根据曲线轨迹方程的求解方法展开想象，从而懂得椭圆标准方程的推导过程。3、能正确完成焦点在 轴上椭圆的标准方程。y4、能正确完成课本后面的练习题目。教育方面：1、 培养学生好学好问的良好习惯。2、 激发学生自主探索，动手实践、合作交流、自主学习等学习的方式。3、 设立“数学探索”学习活动，让学生体验数学发现和创造的历程。4、 让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识。5、 学会从数学的角度去观察事物和思考问题，激发学生对数学产生学习的浓厚兴趣。发展方面：培养学生探究能力、想象能力、思维能力和动手操作能力。让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇

3、集思想。三、 教学目标分析1知识与技能目标：、通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生探索能力，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力，激发学生对数学产生兴趣。、掌握椭圆的定义，标准方程。会用椭圆的定义，标准方程解决简单问题。、理解椭圆标准方程的推导及化简无理方程的常用方法，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2过程与方法目标：、通过观察神舟七号升空运行和着陆的全过程的视频以及观察行星运行轨迹图片，利用几何画板动画椭圆的实验，获得椭圆形成的感性知识。、经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

4、、对学生进行数学思想方法渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。推导椭圆标准方程时，利用计算机直观形象的特点，扫除学生在参数 a,b 引入，焦点在 y 轴上标准方程22理解上的障碍。 、采用互动探究教学，学生分组讨论，教师启发讨论的形式，加强师生，生生之间的交流，拓展思路。3情感态度价值观目标：、充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。、重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。、通过师生，生生之间的合作交流，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他

5、人合作交流的意识。通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。通过神舟七号的引入对学生进行爱国主义教育，增强民族自豪感，体现科学的伟大。四、教材分析（一） 、教材的地位与作用本节课是椭圆及其标准方程是全日制新人教版普通高级中学教科书（选修）数学选修 2-1册第二章圆锥曲线第二节第一课时内容。作为圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了圆及其方程，以及曲线与方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的内容。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。1、从知识结构来看，学生通过直线与圆的方程的学习，对曲线与方程的概念有一定的基础，对解析几何的研究方法并

6、不生疏。通过一年半的学习实践，学生掌握了一定的研究问题的经验以及思考问题的方向，具有一定的能够提出问题，分析问题，解决问题的基本能力。2、从学习心理上分析，学生已经在生活中掌握了一些椭圆图形，只是没有上升到“概念”层面。如何从数学的角度给椭圆以“定量”的描述正是本节课要解决的问题。本节课内容蕴含着数形结合，化归思想等重要的数学思想方法，在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法。3、从学习方法上分析，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；因此，本节课无论从教学内容、还是从数学方法上，都起着承上启下的作用。（二） 、教学重点、难点1、重点：理解椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程、理解坐标

7、法的基本思想。2、难点：椭圆标准方程的推导与化简、坐标法的应用。（三） 、教学准备多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳。教学之前用百度在网上搜索椭圆的相关教学材料，找了很多教案作参考，了解到教学的重点和难点，确定课堂教学形式和方法。然后根据课堂需要，利用百度在网上搜索在百度文库网找到用动画演示椭圆形成过程，课堂上带领学生探究椭圆的形成过程以及标准方程的推导过程。用百度在网上搜索下载神舟七号升空运行和着陆的全过程的视频以及观察行星运行轨迹图片，课堂上放给同学们看，给学生视觉上的直观感受。用百度图片网上搜索下载椭圆图片，做成 PPT 课堂给同学们演示，给学生视觉上的直观感受。用百度搜索椭圆的形

8、成实验，然后简化学生能直观理解的实验，让学生们对椭圆的形成有切身体验。五、教学方法通过探究的教学方法，充分利用观察情景，尽可能的增加教学过程的趣味性，实践性，利用多媒体课件和行星运行的实物模型等丰富学生的学习资源，利用几何画板生动活泼的展示图形，强调学生动手操作试验和主动参与。本节教学方法主要采用引导发现法、探究讨论法，题组教学法。引导发现法331、符合教学原则的.2、能充分调动学生的主动性、积极性和操作性。探究讨论法1、有利于学生对知识进行主动构建；2、有利于突出重点，突破难点。题组教学法能发现学生等价转化、数形结合等思想，培养学生综合利用知识解决问题的能力，使学生对数学感兴趣 。五、教学过

9、程 问题设计 设计意图（一） 、创设情境，引入课题用多媒体展示下列片段：片段一：在北京时间 2008 年 9 月 25 日 21 時 10 分 4 秒 988 毫秒由长征 2F火箭发射升空视频。【百度视频】椭圆轨迹视频http:/ 2F 火箭绕什么旋转？运行的轨迹是什么？（地球，椭圆）片段二：日常生活中一些圆锥曲线实体及天体运行模拟图。【百度文库】圆锥曲线实体以及天体运行图片http:/ 你觉得这些曲线有什么特别吗？你想知道些什么？片段三、用动画演示平面截圆锥时交线的变化情况【百度文库】动画演示平面截圆锥时交线http:/ 、尝试探索，归纳总结过程 1、学生分组动手作椭圆的图形；让学生拿出课前

10、准备好的的硬纸板，细线，图钉，教师先点明作图要点，再让学生与同桌一切合作画图。过程 2、教师提问让学生思考：椭圆上的点具有什么特点？满足什么关系？结论 1：椭圆上的点满足 ；12|MFa定义：平面内，到两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的, 21aF点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点的距离 叫做椭12|圆的焦距，记 =2 .12|Fc过程 3：实验探究以上展示结果，即对学生进行爱国主义教育，又引入了本节课题锻炼学生的动手操作能力，尝到由作图带来的成功感。经学生讨论、评议，从作图中总结出椭圆定义，77保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？绳长等于两个定点之

11、间的距离时作出的图形是什么？绳长小于两个定点之间的距离时作出的图形是否存在？两定点重合时作出的图形又是什么？结论 2： M 的轨迹是椭圆1212|MFF+M 的轨迹是线段12|=M 的轨迹不存在12|M 的轨迹是圆12|F【百度文库】http:/ 、探究交流，点拔示范过程 4：椭圆标准方程的推导过程学生动手列入关系式推导方程并分组讨论化简。1、回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简。2、如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？建系：以直线 为 轴，以线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直12Fx12Fy角坐标系 （这时，对于学生的正确思路，给予表扬）设点：设 为椭圆上任意一点，设焦距为

12、 ，则,My0c，点 与点 的距离之和为 12,0c12、 2a列式，动点 就是集合: 1AMF将上述集合坐标化得： 22xcyxcya化简（师生共同完成）：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生自己推导与化简椭圆方程。过程如下： 2222222222242222 (41xcyxcyaaxcxcyaxcycayaxyac引 导 学 生 去 根 号 ）（ 引 导 合 并 同 类 项 ）从而培养学生的抽象概括能力及由图形语言到文字语言的转化能力。通过改变两个图钉之间的距离让学生体会条件2 .的内涵。ac根据定义用坐标法求标准方程，征集学生中不同建系方案，指导学生根据简单化原则和对称思

13、想进行探究。发散学生思维，培养探究精神。在探究过程中，巧设疑难，鼓励学生大胆提问，张扬学生个性。66引导学生分析 的几何含义，令2ab22acb得到焦点在 轴上的椭圆的标准方程为x21xy思考： 的大小关系如何？得出,ab0ab教师指出：方程为 （ ）叫做椭圆的标准方程，焦点在21xy轴上，焦点坐标x 2212(,0)(,Fccab3、对于焦点在 y 轴上椭圆的标准方程的处理先让学生猜想方程的形式，一般来说会有部分学生能说出正确答案，学生猜想后我再给出正确答案即：只需把焦点在 x 轴上的标准方程中的 x、y 的位置对换，得到焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 。210yab具 具体过程让学生回去自

14、己推导（作业）（四） 、运用规律，解决问题例 1、已知 上任意一点 ，过 作 轴的垂线 ， 为垂足，24xypxPD当 在圆上运动时，线段 的中点为 的轨迹是什么？为什么？PPDM【百度文库】椭圆画法http:/ 2、设 的坐标分别为 ，直线 相较于点 ，,AB2(5,0)(,F,ABM且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程？49【百度文库】椭圆画法http:/ 、 （2） 、2169xy251640xy组题二：已知 、 是椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于F91F两点，则得 周长为 ,MN2N题组三：若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值2156xymxm范围是 【百度知道】判断椭圆焦点位置课本给出焦点在 轴的标准方x程，让学生尝试推到焦点在 轴y上的标准方程，给学生发挥空间想象能力。 旨在转化新知，先让学生独立思考，后经讨论得出正确答案，并用几何画板动画演示。66http:/zhida