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1、第四章 机械振动41 一物体沿 x 轴做简谐振动，振幅 A = 0.12m，周期 T = 2s当 t = 0 时，物体的位移 x = 0.06m，且向 x 轴正向运动求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4 时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从 x = -0.06m，向 x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间解答（1）设物体的简谐振动方程为 x = Acos(t + )，其中 A = 0.12m，角频率 = 2/T = 当 t = 0 时，x = 0.06m，所以 cos = 0.5，因此 = /3物体的速度为 v = dx/dt = -Asin(t + )当 t = 0
2、时，v = -A sin，由于 v 0，所以 sin 0，因此 t1 - /3 = 2/3，得 t1 = 1s当物体从 x = -0.06m 处第一次回到平衡位置时，x = 0，v 0，因此 cos(t2 - /3) = 0，可得 t2 - /3 = -/2 或 3/2 等由于 t2 0，所以 t2 - /3 = 3/2，可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)所需要的时间为：t = t2 - t1 = 0.83(s)方法二：反向运动物体从 x = -0.06m，向 x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从 x = 0.06m，即从起点向 x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需
3、的时间在平衡位置时，x = 0，v 0 时，sin 0，因此 = arccos(x0/A)/3可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值如果速度等于零，当初位置 x0 = A 时， = 0；当初位置 x0 = -A 时， = 42 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e 各点的位相，及到达这些状态的时刻 t 各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图解答方法一：由位相求时间（1）设曲线方程为 x = Acos，其中 A 表示振幅， = t + 表示相位由于 xa = A，所以 cosa = 1，因此 a = 0由于 xb
4、= A/2，所以 cosb = 0.5，因此 b = /3；由于位相 随时间 t 增加，b 点位相就应该大于 a 点的位相，因此b = /3由于 xc = 0，所以 cosc = 0，又由于 c 点位相大于 b 位相，因此 c = /2O txabcdeA/2A图 4.2同理可得其他两点位相为： d = 2/3， e = c 点和 a 点的相位之差为 /2，时间之差为 T/4，而 b 点和 a 点的相位之差为 /3，时间之差应该为 T/6因为 b 点的位移值与 O 时刻的位移值相同，所以到达 a 点的时刻为 ta = T/6到达 b 点的时刻为 tb = 2ta = T/3到达 c 点的时刻为
5、 tc = ta + T/4 = 5T/12到达 d 点的时刻为 td = tc + T/12 = T/2到达 e 点的时刻为 te = ta + T/2 = 2T/3（2）设振动表达式为：x = Acos(t + )，当 t = 0 时，x = A/2 时，所以 cos = 0.5，因此 = /3；由于零时刻的位相小于 a 点的位相，所以 = -/3，因此振动表达式为 cos()3tT另外，在 O 时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程（3）如图旋转矢量图所示方法二：由时间求位相将曲线反
6、方向延长与 t 轴相交于 f 点，由于 xf = 0，根据运动方程，可得cos(2)tT所以： 3f显然 f 点的速度大于零，所以取负值，解得tf = -T/12从 f 点到达 a 点经过的时间为 T/4，所以到达 a 点的时刻为：t a = T/4 + tf = T/6，其位相为： 203由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位 相43 有一弹簧，当其下端挂一质量为 M 的物体时，伸长量为 9.810-2m若使物体上下振动，且规定向下为正方向（1）t = 0 时，物体在平衡位置上方 8.010-2m 处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）t = 0 时，物体在平衡位置并以 0.60ms
7、-1 速度向上运动，求运动方程解答当物体平衡时，有：Mg kx 0 = 0，所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x0，物体振动的圆频率为： /kgx= 10(rads-1)设物体的运动方程为：x = Acos(t + )（1）当 t = 0 时，x 0 = -8.010-2m，v 0 = 0，因此振幅为： 2200(/)|Axvx= 8.010-2(m)；由于初位移为 x0 = -A，所以 cos = -1，初位相为： = 运动方程为：x = 8.010 -2cos(10t + )（2）当 t = 0 时，x 0 = 0，v 0 = -0.60(ms-1)，因此振幅为： 220(/)xv= |
8、v0/| = 6.010-2(m)；由于 cos = 0，所以 = /2；运动方程为： x = 6.010-2cos(10t + /2)O xaAbcdeO txabcdeA/2Af44 质量为 1010-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 20.1cos(8)3xt的规律作振动，式中 t 以秒(s)计，x 以米(m) 计求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明 t 为 1，2，10s 等各时刻的矢量位置解答（1）比较简谐振动的标准方程：x = Acos(t + )
9、，可知圆频率为： =8，周期 T = 2/ = 1/4 = 0.25(s)，振幅 A = 0.1(m)，初位相 = 2/3（2）速度的最大值为：v m = A = 0.8 = 2.51(ms-1)；加速度的最大值为：a m = 2A = 6.42 = 63.2(ms-2)（3）弹簧的倔强系数为：k = m2，最大回复力为:f = kA = m2A = 0.632(N)；振动能量为:E = kA 2/2 = m2A2/2 = 3.1610-2(J)，平均动能和平均势能为: kpE= kA2/4 = m2A2/4 = 1.5810-2(J)（4）如图所示，当 t 为 1，2 ，10s 等时刻时，旋
10、转矢量的位置是相同的45 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反求它们的位相差，并作旋转矢量图表示解答设它们的振动方程为:x = Acos(t + )，当 x = A/2 时，可得位相为 :t + = /3由于它们在相遇时反相，可取1 = (t + )1 = -/3，2 = (t + )2 = /3，它们的相差为: = 2 1 = 2/3，或者: = 2 = 4/3矢量图如图所示46 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动已知氢原子质量 m = 1.6810-27kg，振动频率 v = 1.01014Hz，振幅 A =
11、1.010-11m试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量解答（1）氢原子的圆频率为: = 2v = 6.281014(rads-1)，最大速度为:v m = A = 6.28103(ms-1)（2）氢原子的能量为: 21mE= 3.3210-20(J)47 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为 1.0kg 的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为 0.50s，振幅为 2.010-2m，求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？解答（1
12、）重物的圆频率为： = 2/T = 4，其最大加速度为：a m = 2A，合力为：F = ma m，方向向上重物受到板的向上支持力 N 和向下的重力 G，所以 F = N G重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力：N = G + F = m(g +am) = m(g +2A) = 12.96(N)（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N = m(g - 2A)当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为：A = g/ 2 = 3.210-2(m)O xt=1,2,10sAO xA图 4.7（3）振幅不变时，频率为： 12gA= 3.52(Hz)48 两轻弹簧与小球串连在一直线
13、上，将两弹簧拉长后系在固定点 A 和 B 之间，整个系统放在光滑水平面上设两弹簧的原长分别为 l1 和 l2，倔强系统分别为 k1 和 k2，A 和B 间距为 L，小球的质量为 m（1）试确定小球的平衡位置；（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？解答（1）这里不计小球的大小，不妨设 L l1 + l2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长 x1 和 x2，因此得方程：L = l 1 + x1 + l2 + x2；小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即k1x1 = k2x2将 x2 = x1k1/k2 代入第一个公式解得： 2
14、112()kl小球离 A 点的距离为： 112LlxlL（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为 x 轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x 时，左边弹簧拉长为 x1 + x，弹力大小为：f 1 = k1(x1 + x)，方向向左；右边弹簧拉长为 x1 - x，弹力大小为：f 2 = k2(x2 - x)，方向向右根据牛顿第二定律得：k 2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，利用平衡条件得：21d0mkt，即小球做简谐振动小球振动的圆频率为： 2，其周期为： 12mTk49 如图所示，质量为 10g 的子弹以速度 v = 103ms-1 水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而
15、作简谐振动设弹簧的倔强系数k = 8103Nm-1，木块的质量为 4.99kg，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程解答（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv = (m + M)v0解得子弹射入后的速度为：v 0 = mv/(m + M) = 2(ms-1)，这也是它们振动的初速度子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m + M) v02/2 = kA2/2，所以振幅为： 0Avk= 510-2(m)（2）振动的圆频率为： k= 40(rads-1)取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移 x 的正方向，振动方程可设为：x = Acos(t + )当 t = 0 时，x = 0，可得： = /2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x = 510 -2cos(40t - /2)410 如图所示，在倔强系数为 k 的弹簧
