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1、- 1 -第十二章 概率与统计第一部分 五年高考荟萃2009 年高考题一、选择题1.（09 山东 11）在区间 1,上随机取一个数 x, cos2的值介于 0 到 12之间的概率为 （ ）A 13 B 2 C 2 D 3 【解析】在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,x时,要使 cos2x的值介于 0 到2之间,需使 23x或 或 1，区间长度为3，由几何概型知 cos的值介于 0 到 21之间的概率为 32.故选 A.答案 A2.(09 山东文)在区间 ,2上随机取一个数 x， cos的值介于 0 到 1之间的概率为 ( ).A. 31 B. C. 1 D. 32 【解析】在区间 ,2
2、上随机取一个数 x,即 ,2x时,要使 cosx的值介于 0到 2之间,需使 x或 2x，区间长度为 3，由几何概型知 的值介于 0 到 1之间的概率为 31.故选 A. 答案 A3.（09 安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）A 175 B 275 C 3 D 475【解析】如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，共有 2625ABC DEF- 2 -种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 /,/,/,A
3、CDBAEF/,/,/BCEFD共 12 对，所以所求概率为 12457p，选 D答案D.（2009 安徽卷文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ）A.1 B. C. D. 0 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有 36C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A。 答案 A5、 （2009 江西卷文）甲、乙、丙、丁 4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
4、 （ ）A 16 B 1 C 13 D 12【解析】所有可能的比赛分组情况共有24!种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6种，故选 D. 答案 D6.（2009 江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3种卡片可获奖，现购买该种食品 5袋，能获奖的概率为（ ）A 318 B 81 C 481 D 01 【解析】55(23)0P故选 D答案 D7.（2009 四川卷文）设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 a 618.025，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂- 3 -随机抽取两个批次的初加工矩形宽
5、度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是 （ ）A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613答案 A8.（2009 辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的
6、点到 O 的距离大于 1 的概率为 （ ）A 4 B 14 C 8 D 18 【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 2因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 22 4取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 答案 B.（2009 年上海卷理）若事件 E与 F相互独立，且 14PEF，则 PEFI的值等于 （ ）A 0 B 16 C 14 D 2【解析】 PEFI PF 16答案 B二、填空题10.（ 2009 广 东 卷 理 ） 已知离散型随机变量 X的分布列如右表若 0EX，- 4 -1DX，则 a ， b 【解析】由题知 12c，
7、061ca， 12122ca，解得125， 4b.答案 11.（2009 安徽卷理）若随机变量 2(,)XN，则 ()PX=_.答案 1212.（2009 安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或2、4、5，故 34PC=0.75. 答案 0.7513.（2009 江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m的概率为 . 【解析】 考
8、查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。答案 0.214.（2009 江苏卷）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为 7，故方差2222(67)0(
9、8)055s- 5 -答案 15.（2009 湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。【解析】三人均达标为 0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76答案 0.24 0.7616.（2009 福建卷文）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。【解析】如图可设 B,则 ,根据几何概率可知其整体事件是其周长 3，则其概率是 23。 答案 217 （2009 重庆卷文）从一堆苹果中任取 5 只，
10、称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127 则该样本标准差 s （克） （用数字作答） 【解析】因为样本平均数 1(241237)14x，则样本方差2221(3),5sO所以 s答案 2三、解答题18、 （2009 浙江卷理） （本题满分 14 分）在 1,23,9 这 个自然数中，任取 3个数（I）求这 3个数中恰有 1个是偶数的概率；（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1,2，则有两组相邻的数1,2和 ，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E解（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则 45390()CP； （I
11、I）随机变量 的取值为 0,1的分布列为0 1 2P 5221- 6 -所以 的数学期望为 512023E 19、 （2009 北京卷文） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的
12、概率为 1143327P.（）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到 k次红灯的事件 0,12kB.则由题意，得 402638PB，1 2142414,38CC.由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ，事件 B 的概率为 0129PBPB.20、 （2009 北京卷理） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯
13、停留的总时间 的分布列及期望.解 （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，- 7 -所以事件 A 的概率为 1143327P.（）由题意，可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“ 2k”等价于事件“该学生在路上遇到 k次红灯” （ k0，1，2，3，4） ， 4410,12343kkPC，即 的分布列是0 2 4 6 8P168381827811 的期望是 024613E.21、(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得3分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q 1为 0.25，在 B 处的命中率为 q 2，该同学选择先在 A处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求 q 2的值； （2）求随机变量 的数学期望 E;（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。解 （
