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1、1第五章习题 5-11.求下列不定积分：(1) dx; (2) dx;2(5) 2(1)(3) dx； (4) dx；3e 2cos(5) dx； (6) .25x 2in解 515173222220(1)()ddxxxC13221132235() ()4ddxxxC213(3)()()ln31lncos 14cos cossin225()5()5()33312(ln2)ln()eededd xxxxxxxxx xCC 222coscosi(6) cseineotanddd xxxxC2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 2x-2,求该
2、曲线方程；(2) 设 sinx 为 f(x)的一个原函数，求 dx；()f(3) 已知 f(x)的导数是 sinx，求 f(x)的一个原函数；(4) 某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数，该商品的最大需求量为 1000(即 P=0 时，Q=1000),已2知需求量的变化率(边际需求 )为 Q(P)=-1000 ln3,求需求量与价格的函数关系.1()3P解 (1)设所求曲线方程为 y=f(x),由题设有 f(x)=2x-2,2()dfxC又曲线过点(1,0),故 f(1)=0 代入上式有 1-2+C=0 得 C=1,所以 ,所求曲线方程为.2()1fx(2)由题意有 ,即 ,(sin)(xf
3、cos故 ,)infx所以 .()siscosddf xC(3)由题意有 ,则sinx1()fx于是 .2()cossinfCx其中 为任意常数,取 ,得 的一个原函数为 .12C120()fsinx注意 此题答案不唯一.如若取 得 的一个原函数为 .x(4)由 得()0()ln3PQ1110ln3()0().3ddPPxxC将 P=0 时,Q=1000 代入上式得 C=0所以需求量与价格的函数关系是 .()()PQ习题 5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1) dx = d(ax+b)(a0)； (2) dx= d(7x-3)；(3) xdx= d(5 )； (
4、4) xdx= d(1- )；2 2(5) dx= d(3x4-2); (6) dx= d( )；3 2eex(7) dx= d(1+ ); (8) = d(5lnx);2e2e(9) = d(1-arcsinx); (10) = d ;21 21213(11) = d(arctan3x); (12) = d(arctan x);2d19x2d1x2(13) (3 -2)dx= d(2x- )； (14) cos( -1)dx= dsin( -1).333解 ()(0()dabaab2 243342221737()5)10(5)01(5)3)1()16(7)1) dd dde edx xxxx
5、xxxx2 2222 222()()518ln(5ln)(9)1arcsi) (1arcsin)10() 113(1)arctn)9 ed ddd d xxxx xxx 232223(arctn3)9211()()(3)()(2)314sincoscossin1d dd d xxxx xx2.求下列不定积分：(1) ; (2) dx;5edt 3(2)(3) ; (4) ;12x3(5) ; (6) ;sindt dlnx(7) ; (8) ;102taecx 2ex4(9) ; (10) ;dsincox 22dtan1x(11) ; (12) ;ex23x(13) ; (14) ;34d1
6、 3sindco(15) ; (16) ;29x29x(17) ; (18) ;2d1x d(1)x(19 ); (20) ;cos()t2cosin()dtt(21) ; (22) ;in23dx x(23) ; (24) ;s573tasec(25) ; (26) ;arctd(1)x 2d(rsin)1x(27) ; (28) ;lntcosix 2l()x(29) ; (30) ;2d,0a 23d(1)(31) ; (32) ;29x 2x(33) ; (34) ;2d1x d,0ax(35) ; (36) ;242(37) ; (38) (提示：令 ).sec()d1tanx (1
7、)dexxte解 55551()edttttC533 411(2)(2)()(32)8ddxxx1 223 333 ln111(4)(2)()()()2sin5sin2sincos11(6) (l)lnlllldddCxxxxCtttttxxx22 221007tansectan(t)tan11(8) )9 cssincosincosinl l2ttasidde(-ed d或 xxxxxCCxxx 1ltnsidC 222222222234(10)tantanlcos111()artn63)(1) 311(1)dedded dx xxx xxCx34443233222223()ln1sinsi
8、ncoscoscoco1(15)9494941(8)38()1dd d xxxxxx1222(94)()()3d x62121arcsin943xC33222229(16) ()91199ln()1 1(17)()21( (2)2x xx xCxxxxddd d d 21 1lnlnln11(18)()(2)()()3233lnlln1cos()1(19)cos() cos(2224CCxx xxxxtt ttt ddd d2 23 )()41sin()2(0)cos()i()cos(cos()1)(21)sinco3 tttCttttx dd 11(sin5i)sin5sin202co013
9、13(2)cos(s)cos()cos()2222ini1(23)sin57(cos2xxxCxxxxxd d d )1(2cos(2)441sinsi2xxxCd 73223222(24)tansectan(sec)(s1)sec1rt(5)arct2arctn(arct)()(1)(n)(26)arcsiarcsin)1dd ddxxxCxxxxxxx 1(rsi)arcsinCx222 222 22 2lt 17ltneoia(lt)(lnta)1ln111(8) nlllln9() ddddxxx Cxxaxaa 利用教材5.2 例 16 及公式(20)可得:原式= .2 22 2 2
10、11rcsinrcsi arcsinxxxxCxCa(30)令 ,则 .ta,() 2secdt所以 23231cosin()(tn)d dxtttt.22ta,si11 原 式xxt C(31)令 ,可求得被积函数在 x3 上的不定积分,此时3ec,(0)xt23sectan93tanddx故 2 229ttt(sec1)dx t .3tanC由 得 ,3sec,(0)2xt29x又由 得 ,t 3,cos,arcos3tx822 2933arcos9arcos)dxxCxCx又令 x=3sect,类似地可得被积函数在 x0,令 ,t当 x0 时,( 此时 t0) 222212 222 21
11、()()11 .dddttxtttCtxxCx当 x-2 时,此时 02t22212 32331()()112 .dddxttttt tCxxCCx综上所述:原式= .22ln1(37) .222secsec11() (tan)1ta(ta)(ta)tadddxxxCxx(38)令 ex=t,则 x=lnt,dx= dt.1ln11(ln)(ln)(1)()ln(ll1llnllnln11dddee ex xxx xxtt tttttCC习题 5-31.求下列不定积分：(1) ; (2) ;sindx edx10(3) ; (4) ;arcsindx ecosdx(5) ; (6) ;2e 2tan(7) ; (8) ;t (rcsi)x(9) ; (10) ;2esindx 3ed(11) ; (12) ;co(l) 2(1)sinxx(13) ; (14) ;1xco(15) ; (16) ;32lnd sindxx(17) ; (18) ;cotsxx 2(1)e(19) ; (20) ;1(ln)dl lndxx(21) ; (22) ;23sicox
