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1、离散型随机变量的均值与方差教学目标：1、了解离散型随机变量的均 值 或 期望的意义，会根据分布列求出均 值 或 期望，2、理解公式“E(a+b)=aE+b” ，以及“若 B(n,p)，则 E=np” ；:3、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。教学重点、难点：离散型随机变量的均 值 或 期望的概念，及根据分布列求出均 值 或 期望，了解方差公式“ D(a +b)=a2D ”，以及“若 (n， p)，则 D =np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。复习：1 随机变量：如果随机试验的结果
2、可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆 随机变量常用希腊字母 、 等表示 奎 屯王 新 敞新 疆2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆若 是离散型随机变量，=a+b, a, b 是常数，则 也是离散型随机变量。3 分布列:设离散型随机变量 可能取得值为 x1， x2， x3， 取每一个值xi（ i=1，2，）的概率为 ，则称表()iiPxp为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 奎 屯王 新 敞新 疆4 分布列的两个性质： Pi0， i1，2，； P1+P2+=15 离散型随
3、机变量的二项分布: 在 一 次 随 机 试 验 中 ， 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 ， 在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是 一 个 随 机 变 量 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是， （ k0,1,2,， n， ） knqpC)( pq1于是得到随机变量 的 概 率分 布 如 下 ：称 这 样 的 随 机 变 量 服 从 二项 分 布 ， 记 作 B(n， p)，其 中 n， p 为 参 数 ， 并 记 b(k； n， p)nkqC6 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某 事 件 第
4、 一 次 发生时，所作试验的次数 也 是 一 个 正 整 数 的 离 散 型 随 机 变 量 “=k” 表 示 在 第 k 次 独立重复试验时事件第一次发生.如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 、事件 A 不发生记为 ，P( )=p，P( )=q(q=1-k kAkp)，那么 x1 x2 xi P P1 P2 Pi 0 1 k nP nnC nqp 0qpC（ k0,1,2,， 112311231()()()()(k kkPkAPAPAqp ） 于是得到随机变量 的 概 率 分 布 如pq下 ：称 这 样 的 随 机 变 量 服 从 几 何 分 布 奎 屯王 新 敞新 疆记 作 g(k，
5、p)= ， 其 中 k0,1,2,， 1kq pq1离散型随机变量的均值问题：某商场为满足市场需求要将单价分别为 18 元/kg，24 元/kg，36 元/kg 的 3 种糖果按3:2:1 的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？ 价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克)；合理吗？如何体现三种的比例？平均在每 1kg 的混合糖果中，3 种糖果的质量分别为 1/2kg, 1/3kg, 1/6kg, 所以价格应定为: (元/千克). 1824621在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为 18 元/千克的概率是 1/2，恰好是价格为24
6、元/千克的概率是 1/3，恰好是价格为 36 元/千克的概率是 1/6.假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记 X 为这颗糖果的原来单价（元/千克） ，则 X 的分布列为：因此权数恰好是随机变量 X 取每种价格的概率。这样，每千克混合糖果的合理价格应为：18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)=23(元/千克).一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为则称 E(X)= 为 X 的 均 值 或 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 nipxpxpx321均 值 或 数 学 期 望 是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反
7、映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 .均 值 或 期望的一个性质:若Y=aX+b, a, b 是常数，X 是 随 机 变 量 ，则 Y 也 是 随 机 变 量 ， 因 为 ：P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1,2,n.所 以 Y 的 分 布 列 为 ：于是 )(E1)pba2)(pbaiipbax)( npbax)( ) )1x2nx12n 1 2 3 k P 1X 18 24 36P 1/2 1/3 1/6X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn x1 x2 xi xi ax1+b ax2+b axi+b axi+bP p1 p2 pi pi
8、 ，bXaE)(由此，我们得到了期望的一个性质: bXaEb)()(例 1 在篮球比赛中，罚球命中得 1 分，不中得 0 分。如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他他罚球 1 次得分 X 的均值 (期望)是多少。随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项正确。每题选对得 5 分，不选
9、或选错不得分，满分 100 分。学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。例 3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25，有大洪水的概率为 0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60 000 元，遇到小洪水时要损失 10 000 元为保护设备，有以下 3 种方案：例 4 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数 X 的均值 奎 屯王 新 敞新 疆例 5 有一批数量很大的产品，其次品率是 15%，对这批产品进行抽查，每次抽取 1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为
10、止，但抽查次数不超过 10 次 奎 屯王 新 敞新 疆 求抽查次数 X 的期望（结果保留三个有效数字） 奎 屯王 新 敞新 疆例 6 某 城 市 出 租 汽 车 的 起 步 价 为 10 元 ， 行 驶 路 程 不 超 出 4km 时 租 车 费 为 10 元 ， 若 行驶 路 程 超 出 4km， 则 按 每 超 出 lkm 加 收 2 元 计 费 (超 出 不 足 lkm 的 部 分 按 lkm 计 ) 从 这 个城 市 的 民 航 机 场 到 某 宾 馆 的 路 程 为 15km 某 司 机 经 常 驾 车 在 机 场 与 此 宾 馆 之 间 接 送 旅 客 ，由 于 行 车 路 线 的
11、 不 同 以 及 途 中 停 车 时 间 要 转 换 成 行 车 路 程 (这 个 城 市 规 定 ， 每 停 车 5 分 钟按 lkm 路 程 计 费 )， 这 个 司 机 一 次 接 送 旅 客 的 行 车 路 程 X 是 一 个 随 机 变 量 设 他 所 收 租 车 费为 Y 奎 屯王 新 敞新 疆X 15 16 17 18( )求 租 车 费 Y 关 于 行 车 路 程 X 的 关 系 式 ；( )如 表 为 随 机 变 量 X 的 分 布 列 ， 求所收租车费 Y 的数学期望( )已 知 某 旅 客 实 付 租 车 费 38 元 ， 而 出 租 汽 车 实 际 行 驶 了 15km
12、， 问 出 租 车 在 途 中 因故 停 车 累 计 最 多 几 分 钟 ?练习：1 口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 球，以 X 表示取出球的最大号码，则 E(X)=A4；B5；C4.5 ；D4.75 奎 屯王 新 敞新 疆2 设 有 m 升 水 ， 其 中 含 有 大 肠 杆 菌 n 个 今 取 水 1 升 进 行 化 验 ， 设 其 中 含 有 大 肠 杆 菌 的 个 数为 X， 求 X 的 数 学 期 望 分析：任取 1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是 1/m，事件“X= k”发生，即 n 个大肠杆菌中恰有 k 个在此升水中，由 n 次独立重复实验中事
13、件 A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生 k 次的概率计算方法可求出 P(X=k),进 而 可 求 E(X).解：记事件 A：“在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌” ，则 P(A)=1/m P(X=k)=Pn(k)=Cnk(1/m)k(11/m) n k（ k=0,1,2,.,n） X B(n,1/m)，故E(X)= n1/m=n/m 奎 屯王 新 敞新 疆小结 ：( 1)离 散 型 随 机 变 量 的 均 值 (期 望 )， 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 ；(2)求离散型随机变量 X 的均值的基本步骤：理解 X 的 意 义 ， 写 出 X 可 能 取 的 全 部
14、值 ； 求 X 取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ； 根据分布列，由均值(期望)的定义求出 E(X) 奎 屯王 新 敞新 疆 (3)公式 E(aX+b)= aEX+b，(4)服从二项分布的随机变量的均值 (期望)：E(X)=np 奎 屯王 新 敞新 疆练习：1 一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球，从中同时取出 2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数 X(X=0、1、2)则 X 的要布列为：于是 E(X)=03/10+13/5+21/10=0.8，故知红球个数的数学期望为 1.2。2 学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作
15、，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为 p1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 奎 屯王 新 敞新 疆P 0.1 0.5 0.3 0.1X 0 1 2p 3/10 3/5 1/10离散型随机变量的方差复习：均值(数 学 期 望 )是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 ，表 示 了 随 机 变 量 在 随 机 实 验 中 取 值 的 平 均 值 对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ， ， 中， 是它们的平均值，那么：1x2nx 12nS2)(x2)()(2n叫做这组数据的方差 .一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为则称 为 X 的 均 值 (数 学)(XE1px2npx期 望 ).均值(期望)的一个性质: baEb)()(若 XB(n,p） ，则 EX=np .问题：要从甲、乙两名同学中挑出一名，代表班级参加
