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1、,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,课前预习、课中提高效率、课后复习,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,授课预计 (8学时),第七章 矩阵函数,矩阵序列,矩阵级数,矩阵多项式,矩阵函数,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1, 掌握矩阵序列和级数的概念及收敛定理； 2, 掌握矩阵函数的概念和性质，及一些常见矩阵函数幂级数展开式；会用多种方法计算简单的矩阵函数 f(A) ； 3, 掌握并会
2、求解矩阵多项式，化零和最小多项式，以及Cayley-Hamilton定理。,重点: 矩阵序列和级数收敛性定理；常见矩阵幂级数展开 式；Cayley-Hamilton定理； 简单的矩阵函数的计算。 难点: Cayley-Hamilton定理；矩阵函数的计算。,矩阵多项式与矩阵函数均为矩阵理论中非常重要的概念，本章将给出矩阵多项式与矩阵函数的相关概念和性质，并给出Cayley-Hamilton定理和矩阵函数的Jordan表示和多项式表示。,矩阵多项式,7.3,7.3.1 矩阵的化零多项式,多项式 的次数 也称为 的次数, 记为:,那么我们称 为相应于 的关于方阵 的矩阵多项式。,性质1 设 为C上
3、关于变量x多项式, 则对任意的 方阵 有:,（1）,其中 。,（2）,其中 。,性质2 设 为C上关于变量x多项式, 则对任意 给定的可逆阵, 有：,其中 为较 A 更低阶方阵，则：,性质3 设 为C上关于变量 的多项式,若方阵A为分块对角阵，即有,征值 的特征向量，即 ，则 也为 的,关于 的特征向量，即 。,则称 是矩阵A的化零多项式。,容易看出, 如果 , 则对任意的多项式 ，,令 , 都满足,可见化零多项式不唯一。,定理1,任何方阵 都存在化零多项式。,证明：设 ，由于 的维数为 ，所以,这 个向量必线性相关，,有 , 即 中任意的A，都存在化零多项式。,即存在,作多项式 , 且 不恒
4、为零 , 则,定理2,证明：略。,（Cayley-Hamilton定理） 设 ，,为 A 的特征多项式, 即有,则,解答: 的特征多项式,由Cayley-Hamilton定理知,例1 设矩阵 ,试计算,即： 。因此多项式,所以,例2 已知 利用 Cayley-Hamilton定理求,解答: A的特征多项式为:,由Cayley-Hamilton定理得,所以:,即:,7.3.2 矩阵的最小多项式,证明：由多项式带余除法得,设方阵 ,则A 的任一化零多项式 都能被其最小多项式 整除。,其中 或 。,于是有：,所以 ，即 也是A的化零多项式。又因为 是A的最小多项式，可知 是 的所有化零多项式中次数最
5、低的,故有 ，即 。,证明：设 都是 A 的最小多项式，可知 都是A的零多项式，则有定理3可知,且,所以有,定理5,设矩阵A为分块矩阵，且有,则A的最小多项 多等于 （ ）的 最小多项式 中的最小公倍式。,即 整除 。,又因为,则对于每一个 有 ,即 整除 。而 是 的最小公倍式，故 整除 ，综上有 。,定理6,证明：,由cayley-Hamilton定理知 为 的化零多项式，且首系数为1。则由定理3可知最小多项式是必是 的一个因子，注意到, ,而,证明：因为 A 与Jordan矩阵 J 相似，所以存在可逆阵 P，使得：,推论1,推论2,相似矩阵具有相同的最小多项式。,证明 设 ,且A与B相似
6、， 分别是 A与B的最小多项式。由A与B相似，即存在可逆矩阵 T使得 ，则有A与B具有相同的Jordan标准型。综合定理7可知A与B具有相同的最小多项式。,需要指出的是，虽然相似矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的矩阵不一定相似。,矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。,解 :显然，矩阵A的Jordan标准型 ，因此有A有两个初等因子，分别为 和 ，由本节定理7的推论1有A的最小多项式为 。,解：首先求出矩阵A的Smith标准形,例4 求 的最小多项式 。,由定理7知,因此，A的最小多项式有如下六种可能,例5 求 的最小多项式 。,解：显然矩阵的最小多项式是其零多项式的因式，故可利用矩阵的特征多项式来求解。经过简单运算可得矩阵A的特征多项式为,将A 带入上述六式得,所以A的最小多项式为,例6 设n阶方阵A的一个化零多项式为,即有,试证明方阵A可对角化。,则可知A的最小多项式 为 的因式，,因为 没有重根，故 也没有重根，由本节定理7的推论3可知矩阵A可对角化。,Good,Bye,
