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1、高等数学,课本,（本科少学时类型）（第三版）上册,同济大学应用数学系 编,高等教育出版社,一、什么是高等数学？,1、高数简介,高等数学是大学的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分方面的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学生在受到数学分析基本概念、理论、方法以及运用这些概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练的基础上，提高抽象概括问题能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识自
2、我更新奠定必要的基础。,2、研究对象 （函数关系）,3、研究方法 极限方法,4、主体内容,1）微积分学理论（一元与多元）；,2）空间解析几何与向量代数、无穷级数、常微分方程。,5、高等数学与初等数学的区别,二、为什么要学习高等数学？,1、训练思维的需要（数学是思维的体操）；,2、数学是科学技术的载体，为学习后继课程提供必须的数学工具；,3、实现理想的需要（考研、考公都会用到）。,三、怎样才能学好高等数学？,四、几点要求：,1、一专：上课专心听课认真做笔记；,2、二要：要及时预习按时到课，作业要按时完成；,3、三记：记重点、难点，记分析思路，记补充内容；,4、四带：教材、笔记本、练习本、笔。,第
3、一章 函数与极限,微积分的研究对象是函数，和初等数学讨论函数不同的是，微积分是以极限的方法来考察和认识函数的变化过程及内在属性。,本节概要,自然界的各种事物都是在不断变化着的，反映这种变化过程的量是变量。各种事物的变化又是相互联系和相互制约的，反映和表示这种既相互联系又相互制约的变化过程的数量关系的就是所谓的函数。,第一节 函数,集合是数学中最基本的概念之一，所谓最基本概念就是不能由其它概念来定义，只能通过常识来描述。 指定的具有“某种属性”的有限多个或无限多个一类事物的全体称为一个集合，构成集合的每一个事物称为该集合的一个元素。 若事物 a 是集合 M 的一个元素，记作 a M，若事物 a
4、不是集合 M 的元素，则记作 a M,(1) 集合的定义,具有“某种属性”，简单地讲，就是能给定一条规则以区分集合中的元素，即任意给出一个事物，根据这个条规则能确定该事物是否属于这一集合。,由有限个元素组成的集合称为有限集，由无穷多个元素组成的集合称为无限集。 表示集合的方法通常有两种： 列出集合中所有元素，其形式为 A = A中的所有元素 . 列出集合中元素的属性，其形式为 M = x x 所具有的特征 ., 枚举法,(2) 集合的表示, 元素属性表示法,设有集合 A、B，若对 a A，都有a B，则称 A 是 B 的子集，记作：A B . 不含任何元素的集合称为空集，记作: 空集可认为是任
5、何集合的子集。, 子集的概念,(3) 集合间的关系, 空集的概念,设有集合 A、B，若有 A B ，且 B A，则称 A、 B 相等，记作：A = B 例如，若 A = 1 ,2 ，B = x x 2 - 3x + 2 = 0 ，则有 A = B . 两集合相等的意义就是彼此相互包含，这一定义实际也给出了集合相等的证明方法，即证明两集合相等就是证明它们相互包含。, 集合相等的概念,设有集合 A、B，由至少属于 A、B 中一个的元素的全体所构成的集合称为集合 A、B 并，记作: AB .即有 AB = x x A 或 x B ., 集合的并,(4) 集合间的运算,设有集合 A、B，由同时属于 A
6、、B 的元素的全体所构成的集合称为集合 A、B 交，记作: AB . 即有 AB = x x A 且 x B ., 集合的交,区间是一类特殊的数集，它通常用来表示连续型变量的变化范围。区间可分为两类，一类是有限区间，另一类是无穷区间。 设 a ,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为开区间，记作:( a ,b )，即( a ,b )= x a x b ., 开区间,(1) 有限区间,设 a ,b R，且 a b，则数集 x a x b 称为闭区间，记作: a ,b ，即 a ,b = x a x b . 由开区间和闭区间的概念容易理解，下列数集均称为半开半闭区间： ( a ,b =
7、x a x b ， a ,b )= x a x b . 数 b - a 称为上述这些区间的长度，长度为有限值的区间称为有限区间。上述这些区间的长度均为有限数，故均是有限区间。, 闭区间, 半开半闭区间,长度为无穷大的区间称为无穷区间。 下列数集均为无穷区间： ( a ,+ )= x a x ， a ,+ )= x a x ； ( - ,b )= x x 0 ，数集 x x - a 称为点 a 的 邻域，记作:U( a , )，即 U( a , )= x x - a =( a - ,a - )., 实心邻域,(3) 邻域,在点 a 的 邻域中去掉中心点 a 后所得点集，称为点 a 的 空心邻域，
8、记作: 函数在一点的性状不仅和该点的函数值有关，还和函数在该点邻近点处的函数值有关。 邻域的重要性就在于用以讨论函数在一点的性状与其邻近点处性状的关系。, 空心邻域,(1) 函数关系举例,客观事物总是变化着的，而其变化过程必然总是伴随着各种不同量的变化，且不同量在各自的变化范围内变化时常常是既相互联系又相互制约的。这种不同变量间既相互联系又相互制约的关系就是所谓 函数关系。,例：某一天的气温和时间的关系是一种函数关系。 在此问题中包含两个变量：气温 C ，时间 t . 两变量在各自的变化范围内变化，变化时彼此间既相互联系又相互依存，因而气温 C 和时间 t 构成函数关系。,例：设有边长为 a
9、的正方形金属薄板，在其四角各剪去一个边长为 x 的小正方形做成无盖正方体小合，试考察小正方形边长 x 与金属合的容积 V 间的函数。 问题中包含两个变量：小正方形的边长 x，容积 V ，两变量在一定的范围内变化，变化时两变量间有对应关系 V = x( a - 2 x )2. 因而小正方形的边长 x和所做成的金属合的容积 V构成函数关系。,例：在解析式 中，变量 x，y 构成函数关系。 此解析式包含两个变量：x 、y 两变量各在一定范围内变化，变化时两变量 x 、y 间有对应关系：因此两变量 x 、y 间构成函数关系。,例：表达式 给出了变量 x，y 间的一个函数关系。 此解析式包含两个变量：x
10、 、y 两变量各在一定范围内变化， x 、y 变化时其对应关系以一个由多个式子组成的分段表达式给出。因此两变量 x 、y 间构成函数关系。,函数关系的特点及构成函数关系一般条件,由以上的例可见，构成函数关系需满足以下条件: 在一个变化过程中至少存在两个变量，两个变量各在 一定范围内变化。 当一个量变化时，另一个也随之发生 变化，当一个变量取定某一定值时， 另一个也随之确定。 各变量在其各自变化范围内变化时， 遵守确定的对应法则。,设 x、y 是两个变量，D 是一个给定数集，如果按照某个法则 f ，对于每个数 x D，变量 y 都有唯一确定的值和它相对应，则称这个对应法则 f 为定义在 D 上的
11、函数。数集 D 叫做称为该函数的定义域，x 称为自变量, y 称为因变量。 与自变量 x 对应的因变量 y 的值记作 f( x )，称为函数 f 在点 x 处的函数值。比如当 x 取值 x 0 D 时，y 对应的值就是 f( x 0 ). 当 x 遍取定义域 D 的所有值时，对应全体函数值所组成的集合 W 称为函数的值域，即 W = y y = f( x )，x D .,(2) 函数定义,(3) 函数定义说明,函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。 函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即 R f = y
12、y = f( x )，x D f = f( D f ). 函数的两个要素实际也给出了判别两函数是否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。, 构成函数的两个要素, 记号的双重身份法,需注意定义中记号的双重身份，x 既表示自变量又表示自变量的值；y 既表示因变量又表示因变量的值。因此在以后抽象命题的讨论中，应注意区分字母 x 、y在所论命题中的意义。 定义中记号 f 表示自变量 x 与因变量 y 间的对应法则，记号 f( x )表示自变量 x 所对应函数值。但在一些问题的讨论中，为叙述方便，也常用记号 f( x )，x D,或 y = f( x )
13、，x D 来表示定义在 D 上的函数值。, 记号 f 与 f( x ) 的区别, 对应法则与函数记号,函数记号是可以任意选取的，除常用的 f 外，还可用其它英文字母或希腊字母表示，如 g、F、 等。相应地，函数可记作 y = g( x )，y = F( x )，y = ( x )等。有时还可直接用因变量记号来表示函数，即把函数记作 y = y( x ). 一般而言，不同的字母表示不同的对应法则。特别是在同一问题中，在讨论到几个不同函数时，需用不同记号来表示不同的函数。, 函数性质与自变量、因变量所用字母无关,函数的性质取决于其定义域与对应法则，在表示形式上体现在定义域与对应法则所用的字母，而与
14、自变量和因变量用什么字母无关。 y = f( x )，x D ；y = f( x )，x E ； y = g( x )，x D ，y = g( x )，x E ，通常表示不同的函数。 y = f( x )，x D ； u = f( x )，x D ； y = f( t )，t D ； u = f( t )，t D ；却表示同一个函数。,例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )； y = f( x )= sin x，x D =( - , )表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= lg x 2，x D =( - , 0 )( 0 ,+ ) ； y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+ ) ；表示不同的函数，因为它们的定义域不同。 y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - ,+ ) ；均表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同。,
