《2021届高考数学考向击破（文理通用）专题7.2 外接球和内切球（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学考向击破（文理通用）专题7.2 外接球和内切球（解析版）（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题7.2 外接球和内切球解析版考向一 高过外心【例1】（2019湖北高考模拟（文）已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PAAB2，连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO面ABCD，OAOBOCOD，OP，O是球心，球O的半径r，球O的表面积为S4r28故选：C【举一反三】1（2019广东高考模拟（文）在三棱锥中.，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有
2、，解得，所以其表面积为，故选B.考向二 高不过心【例2】（1）（2019天津高考模拟（理）长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，则球的表面积为_（2）（2019湖北高考模拟（文）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）A.B.C.D.（3）（2019山东高考模拟（文）已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为（ ）ABCD【答案】（1）8（2）D（3）A【解析】（1）因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB=2，AD=
3、3，AA1=1，所以4R2=22+32+12=8，球的表面积为4R2=8，故答案8.（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为 外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示在三角形中， 解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D.（3）取中点，连接且 四边形为平行四边形，又 为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足为 四边形为矩形，设，则，解得： 球的体积：本题正确选项：【举一反三】1（2019新疆高考模拟（理）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，则三棱柱外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为
4、，球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，所以在中，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。2（2019遵义航天高级中学高考模拟（文）四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）A3B2C1D【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OEPA,OE底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.3（2019四川高考模拟（理）四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，且，则此球的表面积等于（）ABCD【答案】C
5、【解析】如图，由已知可得，底面四边形为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为，连接，则，又，设四棱锥外接球的球心为，则，即四棱锥外接球的半径为此球的表面积等于故选：C考向三 找高作心【例3】（1）（2019江西高考模拟（文）在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长为23的等边三角形，其中PA=PB=7，则该三棱锥外接球的表面积为_（2）（2019湖南高考模拟（文）在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_【答案】（1）654(2)【解析】（1）如图所示，作AB中点D，连接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，过点E作平面ABC的垂线，在垂线上取
6、一点O，使得PO=OC。因为三棱锥底面是一个边长为23的等边三角形，E为三角形的中心，所以三棱锥的外接球的球心在过点E的平面ABC的垂线上，因为PO=OC，P、C两点在三棱锥的外接球的球面上，所以O点即为球心，因为平面PAB平面ABC，PA=PB，D为AB中点，所以PD平面ABCCD=CA2-AD2=12-3=3，CE=23CD=2，DE=CD-CE=1，PD=PB2-BD2=2，设球的半径为r，则有PO=OC=r，OE=r2-4，(PD-OE)2+DE2=PO2，即(2-r2-4)2+12=r2，解得r2=6516，故表面积为S=4r2=654。(2)取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的
7、中点，连接，过做于点，易知四边形为矩形，连接，设，.连接，则，三点共线，易知，所以，.在和中，即，所以，得.所以.【举一反三】1（2019湖南高考模拟（文）已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_.【答案】【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，令为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos, sin，又OF=,可得，计算得， ，所以.故答案为3（2019河南高考模拟（理）如图，网格纸上小正
8、方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）ABCD【答案】A【解析】何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1，高为设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点， 所以外接球的半径 所以外接球的体积 故选A考向四 球心在边上【例4】（2019福建高考模拟（文）在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】过P点作，结合平面ABC平面PAC可知，故，结合可知，所以
9、，结合所以,所以，故该外接球的半径等于，所以球的表面积为，故选D。【举一反三】1（2019横峰中学高考模拟（文）已知三棱锥的体积为，各顶点均在以为直径球面上，则这个球的表面积为_。【答案】16【解析】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以,在直角中，,即球的半径为，所以球的表面积为.考向五 嵌套模型【例5】（1）（2019辽宁高考模拟（文）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是，则其侧棱长为（ ）A.B.C.D.（2）（2019广东高考模拟（理）某几何体的三视图如图所示
10、，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C D【答案】（1）B（2）B【解析】（1）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是，所以球的半径为1，所以正方体的对角线的长为2，设侧棱长为a,则.所以侧棱长为故选：（2）根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B【举一反三】1（2019山东高考模拟（理）某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.41B.48C.51D.164【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为如
11、下图（一）所示三棱锥，其中，DAAB，BCAB，AB=AD=4，BC=3因为CD的中点E到所有顶点的距离相等，所以E为外接球球心.因为CD=42+32+42=41 所以外接球半径为：r=412，则表面积为：4r2=41.选A.2（2019天津高考模拟（文）已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】且为直角三角形 又平面，平面 平面由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球正方体外接球半径为体对角线的一半，即球的表面积：本题正确选项：考向六 最值【例6】（2019广东高考模拟
12、（文）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球体积的最小值为 ( )ABCD【答案】D【解析】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.【举一反三】1（2019广西高考模拟（理）已知三点都在表面积为的球的表面上，若.则球内的三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】，在中，球心到平面的距离，设的角所对的边分别为，由，得（当且仅当时取“=”），即，故三棱锥体积的最大值为，选C.2（2018河南信阳高中高考模拟（理）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽
13、、高分别为，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，三棱锥外接球表面积为，当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为故选B3（2019东北育才学校高考模拟（理）已知三棱锥中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥的外接球体积为_【答案】【解析】三棱锥的侧面积为：，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，两两互相垂直以，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：考向七 内切球【例7】（2018全国高考模拟（理）如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体中三棱锥即为所求的三棱锥其中，则，故可求得三棱锥各面面积分别为：，故表面积为三棱锥体积设内切球半径为，则故三棱锥内切球体积故选【举一反三】1（2015四川高考模拟（理）已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图：由已知圆锥侧面积是底面积的倍，不妨设底面
