《2021届高考数学考向击破（文理通用）专题5.3 求通项的综合运用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学考向击破（文理通用）专题5.3 求通项的综合运用（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3 求通项的方法考向一 公式法【例1】(1)(2018全国卷改编)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则an_.（2）设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.【答案】（1）2n1（2）【解析】Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1.当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，an12n12n1.（2）因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，从而an的通项公式为an.【方
2、法总结】1已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解【举一反三】1（2017陕西高考模拟）已知正项数列中，则数列的通项公式为（ ）ABCD来源:学科网【答案】B【解析】由题意得 ，又 ，所以 ，选B.2（2019山
3、西高考模拟（文）记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】当时，解得；当时，两式相减可得，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：考向二 累加法【例2】（2019北京101中学）在数列中，则数列的通项 _.【答案】【解析】当时，当也适用，所以.【举一反三】1（2019陕西高考模拟（理）在数列an中，an+1+n+1=an+n+2n-1，a1=0，则a8=_【答案】2492【解析】令bn=an+n，则bn+1-bn=2n-1，b1=1，b8=b8-b7+b7-b6+.+b2-b1+b1=13+11+.+1+1=50，a8+8=50，a8=249
4、2.2（2019湖北高一期末）数列满足，（且），则数列的通项公式为_.【答案】【解析】 当时满足故答案为：考向三 累乘法【例3】（2019滁州市第二中学）已知数列中，且当时，则数列的前项和=_【答案】【解析】，数列的前项和故答案为：【举一反三】1已知在数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式【答案】【解析】(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，a
5、nan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an.当n1时，a11也符合上式，综上，an的通项公式an，nN*.考向四 构造法【例4】（1）已知数列an满足a12，an12an2，求数列an的通项公式(2)已知在数列中，a12，an12an32n，则an_.【答案】（1）an2n12(nN*) （2）2n，nN*【解析】（1）an12an2，an122(an2)，又a124，an2是以4为首项，2为公比的等比数列，an242n1，an2n12(nN*)（2）在递推关系an12an32n的两边同除以2n1，得，令bn1，则bn1bn，b11，所以bn是以1为首项，为公差的等差数列所以bn1(n
6、1)n，故an2n，nN*.【举一反三】1（2019安徽）已知数列中，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】由得：数列是以为首项，为公比的等比数列 本题正确结果：2.在数列an中，a13，且点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，则数列an的通项公式为_【答案】an4n1【解析】因为点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，所以4anan110，即an14an1，得an14，所以是首项为a1，公比为4的等比数列，所以an4n1，故an4n1.3（2019云南省玉溪第一中学）已知数列满足 ，则数列的通项公式_【答案】【解析】因为，所以所以是以1为首项和公差的等差数列，所以，
7、故.考向五 倒数法来源:学科网【例5】（1）在数列an中，已知a11，an1，则an_.(2)已知在数列中，a1，且当n2时，有an1an4anan10，则an_.【答案】（1），nN* （2）(nN*)【解析】（1)由已知可知an0，即，又1，是以1为首项，为公差的等差数列，(n1)，an，nN*.(2)由题意知an0，将等式an1an4anan10两边同除以anan1得4，n2，则数列为等差数列，且首项为5，公差d4，故(n1)d54(n1)4n1，an(nN*)【举一反三】1（2019吉林长春外国语学校）在数列中，且满足，则_【答案】【解析】由，可得，可得数列是以为首项，公差为的等差数列
8、，可得，故答案为2设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【答案】【解析】an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.1（2017全国高考模拟（理）已知数列满足,且,则数列的前59项和为（ ）A-1840B-1760C1760D1840【答案】B【解析】由得，所以，即，所以，故，因为，所以，故选B.2（2019吉林高一期末）数列中，若，则（ ）A.29B.2563C.2569D.2557【答案】D【解析】数列中，若，可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，所以，3（2019湖南衡阳市八中）
9、已知数列满足递推关系：，则（）ABCD【答案】D【解析】由得：，即又，则数列是以为首项，为公差的等差数列 本题正确选项：4（2019黑龙江大庆四中高一月考）已知数列，为其前项和，满足，则数列的通项公式_【答案】【解析】已知数列，为其前项和，满足，所以时， 时，所以 当，满足上式，故数列的通项公式为5（2019山西高考模拟（文）记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】当时，解得；当时，两式相减可得，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：6（2019上海市控江中学）已知数列满足，则数列的通项公式为_【答案】.【解析】设，整理得，对比可得，即，
10、且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，故答案为：.7设数列的前项和为，且，数列的通项公式 ；【答案】【解析】当时，解得，当时，-令-可得，即，因为故数列是公比为3，首项为1的等比数列，；5在数列an中，若a12，an1anln，则an_.【答案】2ln n(nN*)【解析】当n2时，anan1lnan1ln，an1an2ln，an2an3ln，a2a1ln 2，累加可得ana1lna1ln n，an2ln n，nN*(经验证a12也符合此式)来源:学科网ZXXK6已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*，则数列an的通项公式为_【答案】
11、an3n1【解析】由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12.由已知a1S11，得a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30，即an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.7已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn，则数列an的通项公式为_【答案】an1n(nN*)【解析】anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，又a1a11，a11，.设cnan1，首项c1a11.数列cn是以为首
12、项，为公比的等比数列故cnn1n，ancn11n(nN*)8设数列an的前n项和为Sn，已知4an2n3Sn，则an_.【答案】34n12n1(nN*)【解析】由已知得4an12n13Sn1，4(an1an)2n3an1，an14an2n，an12n4an2n14(an2n1)，又4a123S1，a12，an2n1是以3为首项，4为公比的等比数列an2n134n1，an34n12n1(nN*)9已知Sn是数列an的前n项和，数列an满足1a1+12a2+122a3+.+12n-1an=2n(nN*)，则Sn=_来源:学科网ZXXK【答案】1-12n【解析】1a1+12a2+122a3+.+12n-1an=2n(nN*)，1a1+12a2+12
