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1、第1课时集合的概念,第2课时集合的表示 P43,1.1 集合的概念与表示,第1课时子集、真子集 P91,第2课时补集、全集 P134,1.2 子集、全集、补集,1.3交集、并集 P165,第一章 集合,1.元素与集合 (1)集合 (2)元素,【思考】 (1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗? 提示:集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛,可以是数学中的数、点、代数式,也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.,(2)根据集合的定义思考:集合中的元素具有哪些特性? 提示:确定性、互异性和无序性.,2.元素与集合的关系,aA,aA,【思考】 元素与集合之间有第三种关系吗? 提
2、示:对于一个元素a与一个集合A而言,只有“aA”与“aA”这两种结果.,3.常见的数集及表示符号,N,N*或N+,Q,【思考】 N与N+(或N*)有何区别? 提示:N+(或N*)是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N+(或N*)多一个元素0.,【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.() (2)高中数学新教材苏教版第一册课本上的所有难题能组成集合.() (3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素.() 提示:(1).集合中的元素是互不相同的. (2). “难题”没有严格的标准,所以不能构
3、成集合. (3) .由于集合中的元素具有互异性,故由两方程的根组成的集合有2个元素.,2.(教材二次开发:练习改编)下列关系中,正确的个数为() R. Q.|-3|N.- Z. A.1B.2C.3D.4 【解析】选D. 是实数, 是无理数,|-3|=3是非负整数,- =-3是整数,故均正确.,3.已知集合A含有三个元素0,1,x-2,则实数x不能取的值是_. 【解析】根据集合中元素的互异性可知: x-20且x-21,所以实数x不能取的值是2,3. 答案:2,3,类型一元素与集合的相关概念(数学抽象) 【题组训练】 1.下列每组对象,能构成集合的是() 中国最美的乡村; 直角坐标系中横、纵坐标相
4、等的点; 不小于3的自然数; 2018年第23届冬季奥运会金牌获得者. A.B.C.D.,2.下列研究对象组成的总体: 不超过50的正整数;中国的大城市;绝对值最小的实数;sin 30,sin 45,cos 60,1,其中为集合的是_.,【解析】1.选B.中“最美”标准不明确,不符合确定性,中的元素标准明确,均可构成集合. 2.不超过50的正整数的全体是确定的,能构成集合; 中国的大城市是不确定的,不能构成集合;绝对值最小的实数是0,确定,能构成集合;由于sin 30=cos 60,不满足互异性,所以不能构成集合. 答案:,【解题策略】 判断一组对象能否组成集合的策略 (1)注意集合中元素的确
5、定性.看是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素,若具有此“标准”,就可以组成集合;否则,不能组成集合. (2)注意集合中元素的互异性、无序性.,【补偿训练】 下列对象能构成集合的是() A.高一年级较胖的学生 B.鲜艳的颜色 C.很大的自然数 D.平面内到ABC三个顶点距离相等的点,【解析】选D.由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准,因此A,B,C不能构成集合; D中平面内到ABC三个顶点距离相等的点是确定的,能构成集合.,类型二元素与集合的关系(逻辑推理) 【题组训练】 1.由形如x=3k+1,kZ的数组成集合A,则下列表示正确的是(
6、) A.-1AB.-11A C.15AD.32A 2.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当aA时,有6-aA,那么a为() A.2B.2或4C.4D.0,3.已知集合A中元素满足2x+a0,aR,若1A,2A,则() A.a-4B.a-2 C.-4a-2D.-4a-2,【解析】1.选B.由题干知集合A中的数为3的整数倍加1,选项A,C,D均不符合题意. 因为-11=3(-4)+1,所以-11A. 2.选B.集合A含有三个元素2,4,6,且当aA时,有6-aA,a=2A,6-a=4A,所以a=2,或者a=4A,6-a=2A,所以a=4. 综上所述,a=2或4. 3.选D.因为1A,2A, 所以
7、 即-4a-2.,【解题策略】 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法. 使用前提:集合中的元素是直接给出的; 判断方法:首先明确集合由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可.,(2)推理法. 使用前提:对于某些不便直接表示的集合; 判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.,【补偿训练】 1.用符号“”或“”填空. - _R;-3.14_Q; -1_N;3-2_Z. 【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知, - R;-3.14Q;-1N;3-2Z. 答案:,2.由不超过5的实数组成集合A,a= 则()
8、A.aAB.a2A C. AD.a+1A,【解析】选A.a= =45, 所以a2A, 所以 A.,类型三集合中元素的特性的应用(逻辑推理、数学运算) 【典例】(2020滁州高一检测)设A为实数集,且满足条件:若aA,则 A(a1). 求证:(1)若2A,则A中必还有另外两个元素. (2)集合A不可能是单元素集.,【思路导引】(1)依据aA,则 A(a1),求集合A中的元素,同时注意集合中元素的互异性. (2)转化为判断a= 是否有实数解.,【证明】(1)若aA,则 A. 又因为2A,所以 =-1A. 因为-1A,所以 A. 因为 A,所以 =2A. 根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素
9、为-1, ,结论得证. (2)若A为单元素集,则a= , 即a2-a+1=0,方程无实数解. 所以a ,所以集合A不可能是单元素集.,【变式探究】 本例前提条件不变,求证以下两个问题: (1)若3A,则A中必还有另外两个元素. (2)若aA,则1- A.,【证明】(1)因为3A,所以 A, 所以 A,所以 =3A, 根据集合中元素的互异性可知,A中另外两个元素为- , ,结论得证.,(2)因为aA,所以 A. 因为,【解题策略】 根据集合中元素的特性求值的三个步骤,【跟踪训练】 1.已知2aA,a2-aA,若A只含这两个元素,则下列说法中正确的是() A.a可取全体实数 B.a可取除去0以外的
10、所有实数 C.a可取除去3以外的所有实数 D.a可取除去0和3以外的所有实数 【解析】选D.因为2aA,a2-aA,所以2aa2-a. 所以a(a-3)0.所以a0且a3.,2.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数 为() A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2和3,方程x2-x-2=0的解为-1和2,所以集合M 是由-1,2,3这三个元素组成的集合.,【补偿训练】 已知集合A含有两个元素a-3和2a-1, (1)若-3A,试求实数a的值. (2)若aA,试求实数a的值.,【解析】(1)因为-3A, 所以a-3=
11、-3或2a-1=-3.若a-3=-3,则a=0. 此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意. 若2a-1=-3,则a=-1. 此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1. (2)因为aA,所以a-3=a或2a-1=a. 当a-3=a时,有-3=0,不成立. 当2a-1=a时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.综上知a=1.,1.下列各组对象不能构成一个集合的是() A.不超过20的非负实数 B.方程x2-9=0在实数范围内的解 C. 的近似值 D.某校身高超过170厘米的同学,【解析】选C.A项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、
12、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项, 的近似值,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.,2.设M是所有偶数组成的集合,则() A.3MB.1MC.2MD.0M 【解析】选C.因为2是偶数,所以2是集合M中的元素,即2M.,3.英文短语“open the door to.”中的字母构成一个集合,该集合的元素个 数是() A.7B.8C.9D.10 【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知,“open the door to.”
13、中的不 同字母共有“o,p,e,n,t,h,d,r”8个,故该集合的元素个数为8.,4.(教材二次开发:习题改编)下列表述正确的是_.(填序号) (1)0N.(2) Z.(3) Z.(4)Q. 【解析】因为N、Z、Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数, 不是整数, 不是整数,不是有理数,所以0N和Q正确. 答案:(1),(4),5.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x. (1)求实数x应满足的条件. (2)若-2A,求实数x. 【解析】(1)由集合中元素的互异性可知,x3,且xx2-2x,x2-2x3.解之得 x-1且x0,且x3. (2)因为-2A,所以x=-2或x2-2x=
14、-2. 由于x2-2x=(x-1)2-1-1,所以x=-2.,第2课时集合的表示,1.列举法 (1)方法:将集合的元素_出来,并置于花括号_内. (2)注意事项:元素之间要用_分隔;列举时与元素的_无关.,一一列举,“ ”,逗号,次序,【思考】 一一列举元素时,需要考虑元素的顺序吗? 提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. 例如:a,b与b,a表示同一个集合.,2.描述法 (1)形式:x|p(x),其中x为集合的代表元素,p(x)指元素x具有的性质. (2)本质:它是集合符号语言的具体体现,可将集合中元素的规律与性质清楚地表示出来.,【思考】 (x,y)|y=x2+2能否写为x|y=x2
15、+2或y|y=x2+2呢? 提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.,3.Venn图法 (1)形式:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合. (2)作用:直观地表示集合. 4.集合相等 (1)定义:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等. (2)本质:A与B相等,即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素.,5.集合的分类 (1)含有_元素的集合称为有限集; (2)含有_元素的集合称为无限集; (3)_的集合称为空集,记作.,有限个,无限个,不含任何元素,【基础小测】 1.辨
16、析记忆(对的打“”,错的打“”) (1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3.() (2)集合(1,2)中的元素是1和2.() (3)集合x|x2=1与集合-1,1相等.() (4)集合x|x3与集合t|t3相等.(),提示:(1).由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,2,3. (2).集合(1,2)中的元素是(1,2). (3).由x2=1求得x=-1或x=1,所以x|x2=1与-1,1相等. (4).虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的实数,两个集合相等.,2.给出下列集合, (1)0.(2)x|x7,且x4.(4)x|x2-2=0,xZ. 其中空集的个数为() A.1B.2C.3D.4,【解析】选B.满足x7且x7,且x1=. 因为x2-2=0的解为,不是整数,
