雷小华老师高中数学教学实践论文集(1)修改正稿20110501

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1、 高中数学 新课改教学感悟 做一个快乐的牧童 （一） 教学实践论文集 广东省江门市新会华侨中学 雷小华 2011/5/1 1 前 言 85 年 从 江西省赣南师范学院毕业后 分配在 丰矿一中 任教 ， 五年后 为评 上 中教一级，动手写过一篇论文， 到 现在 回想 起来 ， 连 论文名字都忘记了。 2003 年为评 上 中学高级，用 几天 时 间 就写完了半圆内的函数天地，试投后 竟 被中学数学研究（粤）录用并发表， 中学高级也顺利通过。 08 年参加省高考改卷后写了一篇一道立体几何题与坐标系的选择被广东教育 高中发表后才 逐惭养成写点教学方面的文章，聊以自 娱 。 跟 随 教育改革一路走来，

2、当今的 高中数学新课改理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式 ， 提倡学生初步学会从 多角度提出问题、理解问题，并能综合 运 用所学的知识和技能解决问题 。 作为 一线 教师 的我 们 理应走在 新课改的 前面，才能适应新课改理念 的要求；才能在教学中更好地 激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯 ； 引导学生 探究 联想 、 体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识 ， 从而 掌握数学学习的科学方法与科学思维！ 在 26 年的 教学实践中， 看到 有些 学生因学数学而烦 恼，却又不得不每天 解 大量的 数学题 ；有的学生 因 学 数学而失去 学习的 信心

3、 。 如何 引领他们学会思考 、 探究、联想，使学生从题海中解脱出来， 让学生从欣赏数学美的角度来学好数学， 认清数学的本质 ， 重燃兴趣，重拾 信心，快乐学好数学 呢 ？ 我摸索着、实践着 近年来， 我把 在 新课改 教学实践 中的一些感悟断断续续写了出来 。其中一篇 半圆内的函数天地 发表在 2003 年中学数学研究（粤）第 8 期，一道立体几何题与坐标系的选择等十余篇发表在广东教育 高中 ，其中发表在 2009 年 8 月广东教育 高中第 7-8 期的论文从近三年高考解析几 何大题谈起，被中国人民大学书报资料中心复印报刊资料中学数学教与学 (高中读本 ) 2009 年第 12 期全文转载

4、。 虽然发表论文的稿费不多，但很快乐。 现将其 收集整理 成册， 命名 为 做一个快乐的牧童（一） ， 望能起到抛砖引玉的作用 ， 能对读者有所启发将是我最大的快乐 。 胡锦涛总书记 在 2007 年 全国优秀教师代表座谈会上讲 ：“树立高尚的道德情操和精神追求，甘为人梯，乐于奉献， 静下心来教书，潜下心来育人， 努力做受学生爱戴、让人民满意的教师。” 这将是我人生 奋斗的目标， 我将身体力行之。 作者 2011/5/1 2 目 录 夯实基础 篇 1 吹尽黄沙始到金 -浅析函数的奇偶性 （ 17） 2 欲穷千里目 更上一层楼 -再谈法向量与二面角 （ 23） 3 把根留住 -辨析对称与周期 （

5、 60） 探究联想篇 4 半圆内的函数天地 （ 3） 5 一道立体几何题与坐标系的选择 （ 11） 6. 踏花归来马蹄香 -对一道课本习题的联想探究 （ 49） 7. 纠错固根 探究致远 -对一道解几题的解答分析与联想探究 （ 78） 思想方法篇 8. 从特殊到一般 -特殊与一般的数学思想 （ 56） 9 学好数学需多来几串“糖葫芦” （ 69） 试题评析 篇 10 从近三年高考解析几何大题谈起 （ 39） 11 解好含正整数参变量的高考题 （ 63） 12 对一道函数试题的求解分析 （ 73） 高考模拟篇 13 2009 年广东高考数学 (理科 )仿真试题 （ 28） 3 半圆内的函数天地

6、新教材 高中 数学第一册（上） P90 例题 1 是一道与几何图形有关的函数应用题，可作进一步研究 一、 课本例题 如图 1， 有一块半径为 R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底 AB 是圆 O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长 y 与腰长 x 间的函数式，并求出它的定义域 课本对上述问题作了如下解答： 分析 : 要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长 已知下底长为 2R ，两腰长为 2x ， 因此只要用已知量（半径 R）和腰长 x 把上底表示出来， 即 可以写出周长 y 与腰长 x 的函数 关系 式 解： 如图 1， RAB 2 ，

7、 C 、 D 在圆 O 的半圆周上 设腰长 xBCAD ，作 ABDE ，垂足为 E 连结 BD ，那么 ADB 是直角，从而ADERt ABDRt ， 2AD AE AB ，即 22xAE R 222 2 22 2 ( 2 )xCD R A E RRxy R x RR 2 24x xRR 注意到梯形的各边的长为 正 数 ， 故有 ： 0RxR20R2x0x22函数 y 的 定义 域为 20| Rxx 二、 对例题的 深入探索 对这道例题可作进一步地探索，提出问题，与学生共同思考， 如： （ 1） 当腰长 x 为何值时，周长 y 有最大值？ （ 2） 梯形面积 S 与腰长 x 的函数式如何？

8、（ 3） 当腰长 x 为何值时，面积 S 有最大值？ 从实际出发，提出三问，激发学生思维，抓住教学重点，把握研究函数的本质，强化建模训练，深入研究函数 最值求法， 触类旁通，对提高课堂教学效率有帮助 OA BD CE图 1 发表于 2003 年中学数学研究（粤）第 8 期 数海 泛舟 半圆内的函数天地 数中有数 4 以上三问可作如下解答： （ 1） R4x2Rxy 2 ， )R2,0(x 配方得： 21 ( ) 5y x R RR 当 xR 时， max 5yR （ 2） RxR2CD 2 ， R2xAE 2 ，由 高下底上底梯形 2S ， 得 DE2 ABCDS 2222)R2x(x2 R2

9、)RxR2( 2422R4xx2 RxR4 )R2,0(x （ 3） S 2222 (1 ) (1 )44xxRxRR )R4x1)(R4 x1)(R4 x1(xR2 2222222 2 2 2 2 2222243 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )44443R x x x xRRRR 42 2 2 22 22223( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 444443x x x xR RRRR 2R433 当且仅当2222 R4x1R4 x3 时，即 Rx 时， 上式等号成立，所以 maxS 2R433 三、 联想与实践 智慧来 自 联想，创新来 自 实践 我们来探究 ：当半圆内

10、的几何图形在一定条件下变化时， 其周长和面积的变化规律 探究一 ： 如图 ， 有一块半径为 R 的半圆形钢板，计划剪裁成三角形 ABC 的形状，它的底 AB是圆 O 的直径， C 在圆周上设 CB=x 数海 泛舟 发表于 2003 年中学数学研究（粤）第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 5 （ 1） 写出这个三角形周长 y 与 x 间的函数 关系 式； （ 2） 当 x 为何值时，周长 y 有最大值？ （ 3） 写出 三角形面积 S 与 x 之间 的函数 关系 式 ； （ 4） 当 x 为何值时，面积 S 有最大值？ 对上述问题可作如下解答： （ 1） 分析 ： 要用 CB 长 x 表示周

11、长 y ，应该先知道三角形中 AC 的长，因此只要用已知量（半径 R）和 CB 长 x 把 AC 表示出来，就可以写出周长 y 与 x 的函数 关系 式 解： 如图 ， RAB 2 ， C 在圆 O 的半圆周上 由 ACB 090 ， 可知 2222 4)2( xRxRAC ， 2242 xRxRy 02xR （ 2） 分析 ： 要求周长的最大值，可用 判别式 法求得 解： 由 2242 xRxRy 得 xRyxR 24 22 整理得： 04)2(22 22 RyyxyRx 由 0 得： 0)4(24)2(2 22 RyyyR ， 22 )22()2( RRy 当 2xR 时， RRy 222

12、max R)21(2 （ 3） 分析 ： 如图 ，三角形面积 S ACCB 21 解： S 2242x Rx 02xR （ 4） 解： S 2242x Rx 2 2 21 (4 )2 x R x 22222122x R x 2R O A B D C x 图 O A B C x 图 2 数海 泛舟 发表于 2003 年中学数学研究（粤）第 8 期 半圆内的函数天地 数中有数 6 当且仅当 222 4 xRx 时，即 Rx 2 时， 上式等号成立， maxS 2R 探究二 ： 如图 ， 有一块半径为 R 的半圆形钢板，计划剪裁成 等边三角形 CDE 的形状，它的底DE 在圆 O 的直径 AB 上，

13、 C 在圆周上设 CB=x （ 1） 写出这个三角形周长 y 与 x 间的函数式； （ 2） 当 x 为何值时，周长 y 有最大值？ （ 3） 写出 这个三角形面积 S 与 x 之间 的函数 关系 式 ； （ 4） 当 x 为何值时，面积 S 有最大值？ 对上述问题可作如下解答： （ 1） 分析 ： 要用 CB 长 x 表示这个三角形周长，只需先知道三角形中任一边的长，可考虑用已知量（半径 R）和 CB 长 x 把 CE 表示出来，就可以写出周长 y 与 x 之间 的函数 关系 式 解： 如图 ， 连结 OC 、 BC ，在三角形 OCB 中， OH CB，垂足为 H，则 ROB ， 2xBH 在 Rt OBH 中， R)2x(RO B Hs in 22 2 xR422 在 CEB 中，由正弦定理知：0120s in xO B Hs in CE ， 0 s ins in 1 2 0xC E O B H R xR43x22 R xR43x3y22 ， 即 R xR4x3y 22 3R x R （ 2） 解： R xR4x3y 22 R )xR4(x3222 22222 xR4xR3 R32 O A