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1、八年级上册 第一章 勾股定理第1节 探索勾股定理一、勾股定理的内容直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a2b2c2。【说明】勾股定理在很多国家文献中被称为毕达哥拉斯定理，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以又称其为勾股定理。勾股定理揭示的是直角三角形三边长度的数量关系，因此它只适用于直角三角形。勾股定理公式的推广a2 c2b2 （cb）（cb）b2 c2a2 （ca）（ca）二、勾股定理的证明1、证法如图所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形。通过观察可知
2、，正方形A的面积等于16，正方形B的面积等于9，正方形C的面积等于25，即S正方形AS正方形BS正方形C由此面积关系，可以得出这个直角三角形三条边之间的关系是：a2b2c22、证法 如图所示，用硬纸板做成两个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个腰长为c的等腰直角三角形。用这三个直角三角形拼成了一个直角梯形ABCD。 又 a2b2c23、证法如图所示，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个边长为c的小正方形。用这四个直角三角形和小正方形拼成了一个大的正方形。 又a2b2c2第2节 一定是直角三角形吗一、直角
3、三角形的判别条件1、利用角来判别（定义法）有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。【说明】直角三角形的两个锐角互余。2、利用边来判别（勾股定理的逆定理） 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。【说明】若在ABC中，a2b2c2，并不能判定ABC一定不是直角三角形，例如a3，b5，c4，虽然a2b2c2，但是a2c2b2，所以ABC依然是直角三角形，此时a、c是直角边，而b是斜边。因此，在一个三角形中，有任意两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形。确切地说，(较短边)2(较长边)2(最长边)2时，此三角形是直角三角形。一个三角形的三边长分别
4、为a，b，c，且c最大。若a2b2c2，则这个三角形为钝角三角形；若a2b2c2，则这个三角形为直角三角形；若a2b2c2，则这个三角形为锐角三角形。二、勾股数满足a2b2c2的三个正整数称为勾股数。【说明】勾股数的定义包含两个条件：一是这三个数必须是正整数，二是这三个数必须满足关系式a2b2c2，二者缺一不可。例如0.3，0.4，0.5，尽管满足0.320.420.52，但它们都是小数，所以它们不是勾股数。若a，b，c是勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。例如3，4，5是勾股数，所以6，8，10也是勾股数。以勾股数作为三边长的三角形一定是直角三角形，但直角三角形的三边长不一定
5、是勾股数，因为直角三角形的三条边长不一定都是整数。常见的勾股数：3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25第3节 勾股定理的应用一、利用勾股定理求高度、测距离【例1】如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开离旗杆底端5米后，发现下端刚好与地面接触，求旗杆的高度。解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x1）米，根据勾股定理得 x252(x1)2 解得 x12答：旗杆的高度为12米。【例2】放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是40米/分，小华15分钟到家，小夏20分钟到家
6、，求小华和小夏家的直线距离是多少。解：因为小华家在学校的东南方向，小夏家在学校的西南方向，所以两条路的夹角为直角。如图所示，AOB90。由题意知，OA4020800（米），OB4015600（米）根据勾股定理得，AB2OA2OB28002600210002，所以AB1000（米）答：小华和小夏家的直线距离是1000米。二、利用勾股定理求面积【例3】已知一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，求这个直角三角形的面积。解：如图所示，在RtACB中，c5，abc12，所以ab7，所以 (ab)249，即a22abb249，又因为a2b2c225，所以2ab24，所以ab12，所以这个三角形的面积Sa
7、b6【例4】如图，以RtACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB3，求图中阴影部分的面积。解：设AEBEx，由勾股定理得，x2x232，即2x29，所以x2，所以SAEBx2；同理可得，SABCAC 2，SCFBBC 2，所以SABCSCFBAC 2BC 2( AC 2BC 2)，又因为AC 2BC 2AB 29，所以SABCSCFB，所以S阴影SAEBSABCSCFB三、确定几何体上的最短路线在立体图形上，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路线不能仅是两点间的线段长，应该将其展开为平面图形，再利用“两点之间线段最短”这个性质和勾股定理来求解。立体图形转化具体方法圆柱圆柱转化成矩形
8、沿圆柱任意一条母线剪开圆柱，展开侧面，得到一个矩形棱柱棱柱转化成矩形沿棱柱任意一条侧棱剪开棱柱，展开侧面，得到一个矩形圆锥圆锥转化成扇形沿圆锥任意一条母线剪开圆锥，展开侧面，得到一个扇形【例5】有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm，杯子底面半径为4cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(取3)解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱侧面展开图如图所示，其中AC为圆柱的底面周长，则AC2r 23424cm，所以ED AC24cm，由题意知B为ED的中点，所以EBED 12cm，又因为EA8cm，EE 3cm，所以EAEAEE 5cm
9、，所以AB2EA2EB252122169，所以AB13cm，即A、B之间最短的距离为13cm。【例6】有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在的数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短的距离。若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组求出由A点到B点的最短距离。(21.592466，18.442340)解：将四边形ACDF与四边形CEBD展开在同一个平面上，如图所示，在RtAEB中，根据勾股定理得AB2AE2BE221252466将四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图所示，在RtACB中，根据勾股定理，得AB2AC2BC2122142340将四边形
10、AHGF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图所示，在RtAHB中，根据勾股定理，得AB2AD2BD217292370因为340370466，所以A到B的最短距离是如图所示的情况，此时AB18.44，所以A点到B点的最短距离约为18.44。第二章 实数第1节 认识无理数一、无理数1、概念：无限不循环小数叫做无理数。2、类型（1）有规律但不循环的无限小数。如0.9898898889（相邻两个9之间8的个数逐次加1）（2）特殊字符，如圆周率3.14159265（3）含根号且开不尽方的数，如a25，则a ，为无理数。二、无理数的估算（1）方法：逐次逼近法（2）步骤：先从较大的范围开始，再逐步缩小范围
11、，逐渐逼近。（以a22为例）估算整数部分：因为121，224，所以12a222，所以1a2，即a的整数部分是1。估算十分位部分：因为1.121.21，1.221.44，1.321.69，1.421.96，1.522.25，所以1.42a21.52，所以1.4a1.5，即a的十分位是4。估算百分位部分：因为1.4121.9881，1.4222.0164，所以1.41a1.42，即a的百分位是1。同理，依次计算，可以将a无休止地探索下去，求出精确的任何位的a的值。第2节 平方根一、算术平方根1、概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，因为0的
12、平方等于0，即020，所以我们规定：0的算术平方根是0。2、表示方法：a的算术平方根记作“”，读作“根号a”。3、算术平方根的性质（1）正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。（2）算术平方根具有双重非负性：中的a0； 0二、平方根1、概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。例如，3和3的平方都等于9，那么3和3叫做9的平方根，或者说9的平方根是3。2、表示方法正数a的有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作“”，读作“正、负根号a”。3、平方根的性质（1）一个
13、正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。（2）中的a0。【说明】平方根与算术平方根的联系与区别联系A、包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。B、都是只有非负数才有平方根和算术平方根，而负数没有平方根和算术平方根。C、0的平方根是0，0的算术平方根也是0。区别A、个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根 B、表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为。三、开平方求一个a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。【说明】（1）被开方数a一定是非负数，即a0。 （2）开平方与平方运算互为逆运算。（3）互为倒数的两个正数的平
14、方根互为倒数。第3节 立方根一、立方根1、概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如2的立方等于8，那么2叫做8的立方根，或者说8的立方根是2；又如4的立方等于64，那么4叫做64的立方根，或者说64的立方根是4。2、表示方法：a的立方根记作“”，读作“三次根号a”。3、立方根的性质（1）普遍性：任何数都有立方根。（2）唯一性：任何数都有且只有一个立方根。（3）同号性：一个数与其立方根同号。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。【说明】平方根与立方根的联系与区别联系：0的立方根和平方根都只有一个，那就是0本身。区别：A、正数有两个平方根，它们互为相反数，而正数却只有一个立方根。 B、负数没有平方根，但负数却有立方根。 C、对于平方根，被开方数必须为非负数，而对于立方根，被开方数没有限制。D、平方根根号前有“”，根指数2可以省略；立方根根号前没有“”符号，但根指数3不能省略。二、开立方求一个a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。【说明】（
