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1、,第三章函数的应用,3.2函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型,1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异(重点) 2理解直线上升、对数增长、指数爆炸等不同函数类型增长的含义，及其对应函数模型的性质的差异(易混点) 3会分析具体的实际问题，能够通过建模解决实际问题(难点),三种函数模型的性质,y轴平行,x轴平行,越来越快,越来越慢,axxnlogax,判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数yx2比y2x增长的速度更快些( ) (2)当a1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logax0，b1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型
2、”函数( ),1三类函数模型的增长差异 (1)对于幂函数yxn，当x0，n0时，yxn才是增函数，当n越大时，增长速度越快 (2)指数函数与对数函数的递增前提是a1，又它们的图象关于yx对称，从而可知，当a越大时，yax增长越快；当a越小时，ylogax(a1)增长越快，一般来说，axlogax(x0，a1) (3)指数函数与幂函数，当x0，n0，a1时，可能开始时有xnan，但因指数函数是“爆炸型”函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有axxn.,2由增长速度确定函数模型的技巧 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型 (2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指数型函数模
3、型 (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型 (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型,三种函数模型的增长差异,研究函数y0.5ex2，yln(x1)，yx21在0，)上的增长情况 思路点拨：解答本题的关键是在同一坐标下画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况,解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y0.5ex2的图象首先超过了函数yln(x1)的图象，然后又超过了yx21的图象，即存在一个满足0.5ex02x1的x0，当xx0时，ln(x1)x210.5ex2.,三种函数模型的表达形式及其增长特点 (1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)abxc(a，
4、b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸” (2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”,(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)axb(a，b，为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由a和的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型,1函数f(x)2x和g(x)x3的图象，如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x
5、2. (1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 014)，g(2 014)的大小,解：(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x. (2)g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)1 000，f(10)1 024， f(1)g(1)，f(2)g(2)， f(9)g(9)，f(10)g(10) 1x12,9x210. x18x22 014. 从图象上知，当x1xx2时，f(x)g(x)； 当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数， f(2 0
6、14)g(2 014)g(8)f(8),电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MNCD)试问：,根据图象分析函数模型的增长趋势,(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠 思路点拨：首先根据图象求出函数的解析式，然后利用函数的观点求解,对于给出图象的应用问题，关键是读图，要将图形给出的有用信息准确、全面地提炼出来，为此要注意以下几点： 明确横轴、纵轴的意义，如本题中横轴x表示通话时间
7、，纵轴y表示电话费； 从图象形状上判定函数模型，如本题中两种方案，对应的函数分别在两个区间都是直线型；,抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)，最低点(最小值点)，及折线的拐角点等； 通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题,2为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如图所示： (1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜,某汽车制造商在2014年初公告：公司计划2014年生产目标定为43万
8、辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示： 如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？,函数模型的选取,不同函数模型的选取标准 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；,(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律
9、 因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题,3某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x其中哪个模型符合该校的要求？,解：借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(图略)观察图象可知，在区间5,100上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2 x的
10、下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求,易错误区系列(九)因对图形信息理解不准确导致解答错误 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0 x5)的关系如图所示，给出以下说法：,甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h； 甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大； 甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h； 当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处 其中正确的说法是() AB C D,【错解】和一定是一对一错，经分析，是对的；对于，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，
11、故错误；对于，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3515(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A.,【正解】和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的 速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3515(km)，乙的位移为3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以正确，故选D. 答案：D 【纠错心得】对于图象题，一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景,【成功破障】甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是() A甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C甲、乙两人的速度相同 D甲先到达终点 解析：从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较近，即甲比乙的速度快，甲先到达终点 答案：D,
