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1、两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角a, P的三角函数值表示奁士#的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程将顽g士四或飒与c,/h勺三角函数联系起来。根据诱导公式，由角9的三角函数可以得到的三角函数。 因此，由和角公式容sin(-Z)=cosfl易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。（
2、一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注息到单位圆比较谷易表示0,，而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系顽Q士罚与a，A的三角函数值的等式。1.和角余弦公式（方法1）如图所示，在直角坐标系中作单位圆，并作角G，”和顼，使 角的始边为0，交D 于点a，终边交口0于点b；角。始边为0B，终边交口。于点C;角”始边为0)L,终边交。于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为4W), |J(理姑初(她+问,血(G+勘,Dg戌-血历由两点间距离公式得M 二(顽时间-V +M3(a4-J5 = 2-2cos(a +禺；期咬+(-血胃-血碎= 2-2(mots
3、/J-血住血灼注意到JC= SB,因此顽同= gcnsj?-血口血。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。注意 ，公式中的 G和 A为任意角。,也可以2.差角余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段得到我们希望的三角等式。这就是(方法2)如图所示，在坐标系中作单位圆,并作角和,使角和 的始边均为&,交0于点C，角G终边交口0于点 a,角A终边交口0于点 。从而 点A, B的坐标为曲昭血，8(E篮，应由两点间距离公式得=伽泡-CTS罚* H血仁血切=2-加弓皿册放弓如伊由余弦定理得A
4、S7 =011 OB2-lOSDBrosZJOB =0 +园-20ADBcns(a-fi) =2-2顽皿-彻从而有 cns(a+=rasffcns-suiasm注记：方法2中用到了余弦定理 ，它依赖于 ZAOB 是三角形的内角。 因此，还需 要补充讨论角 G和分的终边共线,以及ZAQB大于咒的情形。容易验证,公式在以上 情形中依然成立。在上边的证明中，用余弦定理计算 出的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。仰j ( iA ( L r. sill u). W； ( rii ain ti于是cos(a 3) co acos asin rl（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在
5、单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式 （一）AES（方法3）如图所示,肋为的|总边上的高 ,CE为成 边上的高。设 jcq zc=ffi,丝!*,则。从而有仙-方龊已，CE 5smti,BE 二 CEaig =膈,BC=Cc；cfi=bsiiacsco因此 M=AE+BE=b（cosaisin&rt灼，BO=ABsina=b（cDsaisinaaifi）mao注意到助二 BC 虹罚二&sincrcsc flrn（atfi）,从而有 （必4+血Q政同血G二血弓皿少血低十切,整理可得 （fl+=maaxsfi+ajsasuifi
6、o注记：在方法3中，用*7和与底角a, 相关的三角函数,从两个角度来表示 只供学习与交流4C边上高BD,从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的（方法4）如图所示，肋为 WC的4C边上的高,CE为.小边上的高。设ZC-ffi,邓，AE AO注意到MCED MAD，则有堡BD，即。AB BC AB BC5%咒瞟D ASMASlBC= HKasin/?+sMiaaKj?o利用正弦定理和射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。 架与方法3,4所用的图形框架是相同的。注意证
7、明利用的图形框（方法5）如图所示，CD为AM?的出边上的高。设ZCW-aCHA=fi,则有ZACB二露-*四,。由正弦定理可得AC BC AS .9n/f ana an(a+/F)其中d为AASC的外接圆直径。由应二曲cnscr+BCaKA得 dsjnQ+ZgiiJliosG + dsinfllios。从而有an(a+ = snccc(JStcosaM2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角a,胃放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角（方法 611）。（方法6）如图所示,作J_C于D,交夕卜接圆于E,连B且和CE。设ZSAE=a,二2,则/HCE=a,
8、ZCSE二A,C二a+p o设AASC的外接圆直径为d,则有,J=rfgna助二RAcosP二dsincEcosP CE=t/snfi CD=CEcxxsa=dwflcxtsa所以有 JJC=JJ+CD =rf(sinaais/?+cnsasni/J) o注意到BC二dsin（CE+切，从而颈十仞二血gjsA+coscr血。（方法7）如图所示，为MSC的尤边上的高，CE为应边上的高。设ZJCE-d, SCE=fi,则ZACB=afi。设遂二片，则二月,职Ttan/J, J!C=Asec/? , # =二加Q+血同51) = JjEsm=JJraisff =又肋-血I冏脸#侦伍出从而（tarn
9、1囱罚esq sm/I血（心问整理可得=marnfi(方法8)如图所示，作BDLfXl于D,过D作OP J_0妇F, jJG 1理于Go设力0C2,皿:邓,则ZAOB=afi ,设Q!二r,从而助二，血胃,仞二 rcns/J, BG 二助 gG 二 Fia/Jaisa,GE=DF=ODdna=rma o所以 BE=RG+GE=iBam*Bs随为。注意到5J?=rsn(ff+/Q,则有皿 +同=血 ccaKW+aisGsh。注记：我们用两种不同的方法计算 BE,得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算0E,则可以得到和角的余弦公式。由上图可得QF=GOcosa=rc(Bcns(EEF=C3
10、) = JtDrnff. = rm flrna.从而有QE二OF-EF二血四注意到OErrna+四, 从而可得顽c+0二何口皿力-血皿血以。方法6,7和8都是用角 a, 0的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。（方法9）如图所示，设CD为WC的出边上的高。设 ZC=ff,ZW二代总斗，风小,从而有一土。 b cos ct, RD 白 pCD frsina = jsin 因此$二皿c+s二理= -AD7CD + -BDTD 22-dcosct-irsin /J + lacosjSisin a.n a cos 0+ cos crsin p).= - ACZBC
11、血 ZACB = aisin(a + p)又因为22从而可得sin口 + /?) = sin CL cos /? + cos CK sin /?方法9利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。AR -dcos/? EC =。CD - dsina tDA = tzED = d sin(金 + P)由托勒密定理知ACZBD = ABJCD + ADZBC即整理即得dZd sin(a+)0) = dcos/sin ct+e/cos 3sin(ff + p) - sin acos/?+cosasin /?（方法10）如图所示，设为的外接圆直径d,长度为d。设ZCD = ff 宙必，则
12、血出二分，从而AB -dcos p BC - rfsin flBD = /sin(a + P)由托勒密定理知ACZBD = AB0 + ADZBC即dZd sin(a+6) = dcossin a + dcos sin (3整理即得sin(tf + /3) - sin a cos p+cos 2f si n 0注记：这一证明用到了托勒密定理：若总和助是圆内接四边形的对角线，则有皿血（心佝二如s/GZ sin Zb dcos成血J?。（方法ii）如图所示,CD为MSC的ABZBCD 二,则 4CB 二g+E 设 CD = h-您=AD +D = h(tan a + tan /J)AB由正弦定理可
13、得ACBCsin(tx -I- P) sin 占 sin .45iti(ar+角AC _ BCcos P cos aABAC+BC从而即整理即得/j(tana + tan p) /?(sec0)COS P+ costzsin(z + /?) = sin a cos/3 + cos tz si n方法10和ii将某一线段作为基本量，利用与角a,应相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等式关系O3.差角正弦公式仍然还是在三角形中 ，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12和13便是用这种想法来证明的。jf（方法12）如图所示,2。设
14、 ZABC=a,贝C=p,记肋=&,作delas于 e,则绍9 = cT, ZADE=a ,从而有CD = 3sin胃 DE = bn(a-/3)EDA - DE sec a =bin(a仞睛ca因此有AC注意到从而整理可得-CD DA Zi(sin p+ sin(7 P) secBC = bcop AC = .ffCtana = teas/?tac asin /5+sin(a-*/7)sec0tan asin(a句=sin 7cosp costZsin 0（方法13）如图所示,LMh AM?的外接圆直径，长度为d。设危力m,仙0邓,则0D邓,仙*& 。 从而-d cos ct =a3BC-dsin(z/7) AC -dcos(a-p)DE -AD.3p- d cos 立tan /?BE = 5Csec p = d 点公(a B所以BD =
