《【2019年整理】第三篇导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2019年整理】第三篇导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 MATHEMATICS导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算【2013年高考会这样考】1. 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.2. 考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活 运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.宕者参记；教学相快考基自主导学基础梳理1 .函数y= f(x)从xi到X2的平均变化率函数y= f(x)从X1到X2的平均变化率为f(X2)fX1)X2 - X1若= X2- X1,匀=f(X2)-f(X1),则平均变化率可表示为 土.2. 函数y= f(X)在x=X0处的导数定
2、义称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率li Mm0 *=L-Xli Mmo f(xo+ %)*X0)为函数 y=f(x)在 x= X0处的导数，记作 f (xo)或 y |x= xo, Z-X-_ Ay即 f(xo)= li &mo 二.Z.AA.(2)几何意义函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线y= f(x)上点(xo, f(xo)处切线 的斜率.相应地,切线方程为y f(xo)= f (xo)(x xo).3. 函数f(x)的导函数称函数f (x)= li rm0 X*篡 X为f(x)的导函数，导函数有时也记作yL-X4. 基本初等函数的导数公式若 f(x)=
3、c,则 f (x) = 0;若 f(x)=xa( R)，则 f (x)=水1;若 f(x)= sin x,贝U f (x) = cos x；若 f(x)= cos x,贝U f (x)= sin x；若 f(x)=ax(a0，且 a 1),贝U f (x) = axln a；若 f(x)= ex,贝U f (x) = e ；1右 f(x)= logax(a0,且 a 1),则 f (x) = x；1右 f(x)= In x,则 f (x)=.x(1) f(x)侦x)=f (x)=g(x);(2) f(x) g(x)=f (x)g(x)+f(x)g，/。翊，f (xg(x广f(xg(x)板x)J
4、 =婀26.复合函数的求导法则复合函数y = f(g(x)的导数和函数5. 导数四则运算法则(x);(g(x)丰 0).y= f(u), u = g(x)的导数间的关系为yx=YuZ Ux常 0 的解集为().A . (0, + 8)B . (- 1,0)U (2, + 8)C. (2, + 8)D ( 1,0)解析4(x) = 2x- 2-久=2(x 2 x+ 1)0,利用数轴标根法可解得-12, 乂 x0,所以x2.故选C.答案 C5. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A, B, C的坐标分别为(0,4), (2,0),(6,4),贝U f(f(0) =; li 伽0 E f1
5、)=伽数字作答).考向一导数的定义【例11 ?利用导数的定义求函数f(x) = X3在X= X0处的导数，并求曲线f(x) = X3在X =Xo处切线与曲线f(x)= X3的交点.审题视点正确理解导数的定义是求解的关键.左刀f(X) f(X0)X3 x0解 f (Xo) = x 财0= x顷0；= xlimk0 (x + XX0+XO)曲线f(x)= X3在X= X0处的切线方程为y X3 = 3x0 (x xo),r 3*- o 3, y=x，即 y= 3xox 2xo,由 y_ 3 2x3得(x xo)2(x+ Oxo) = 0,解得 x = xo, x = Oxo.若 xo 0,则交点坐
6、标为(xo, x3)，( 2xo, 8x3)；若xo= 0,则交点坐标为(0,0).方法总堵利用定义求导数的一般过程是:(1)求函数的增量Ay (2)求平均变化率 皇;X偶函数的导数是奇函数.x 都有 f(- x) = f(x)【训练1】利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数, 证明 法一 设y= f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 f(x) = li Axn 0 心急5Lx则 f ( x)= li Axn0f * 顼X)=/ (x)因此f (x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数.法二 设y=f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 x都有f(-x) = f(x),即 f(x) = f(-
7、x)因此 f (x)= f( x) = f(-x) =f ( x)则f (x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数.考向二导数的运算【例2】？求下列各函数的导数:依+x5 + sin x(i) y=x2； x(2) y= (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3);(3)y= sin*2x2cos4 ;11(4)y=i也+1+也，审题视点先把式子化为最简式再进行求导.x2 + x + sin x解(1)y =x2= x-2+ x3+sn，,- y，= *_ 2) + (x3) + (x 2sin x)=|x2+ 3x2 2x 3sin x+x 2cos x.法一y= (x2 + 3x+ 2)(x+
8、3) = x3 + 6x2+ 11x+ 6,y =3x2+ 12x+ 11.法二 y =(x+ 1)(x+ 2) (x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)=(x+ 1) (x+ 2)+ (x+ 1)(x+ 2) (x+ 3)+ (x+ 1) (x+ 2) =(x + 2 + x + 1)(x+ 3) + (x+ 1)(x + 2)=(2x+ 3)(x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2) = 3x2+ 12x+ 11.x(3) . y= sin，-cosx=- 2sin x,1 一一，1 . 、，12sin x J = 2sin x) = ?cos x.y=击+击=3次二源厂告2(
9、1 x -2 = , 22(1 x)(1 x)方法总结(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础.(2)必要时对丁某些求导问题可先化简函数解析式再求导.【训练2】求下列函数的导数:(1) y=xnex;(2)y=cos x sin x(3) y= exln x；2(4) y= (x+ 1)2(x 1).n 1 x n x n 1 x, 解(1)y = nx e + x e = x e(n + x).sin2xi sin2x co*x1(2)y 川2sin2x.(3) y = exln x+ eT 】=ex ?+ In x) x x. y= (x+ 1)2(x 1)= (x+
10、 1)(x2 1)= x3 + x2 x- 1 ,y 3x + 2x 1.考向三求复合函数的导数【例3】？求下列复合函数的导数.(1)y= (2x-3)5; (2)y= 3x;(3)y= sin2 3 I; (4)y= ln(2x+ 5).5.审题视点正确分解函数的复合层次，逐层求导.5解 (1)设 u= 2x-3, WJ y= (2x- 3),由y= u5与u = 2x 3复合而成，,-y =f (u) u (x)= (u5) (2x 3) = 5u4 2 =10u4= 10(2x- 3)4.设 u = 3 x,贝U y=寸3 x.1 一由y= u与u = 3 -x复合而成., 一， ，1
11、,11y =f (u) u (x) = (u2) (3-x) =2u2(-1)111 寸3 x2u 2= 3=x = 2x- 6.(3)设 y= u2, u = sin v, v = 2x+j3贝U V； =yu uv vx =2ucos v 2= 4sin 2x+cos?x+ 3 j= 2sin x+ 与(4) 设 y= In u, u = 2x+ 5,贝U yx =yu ux,12y = - (2x+ 5)= 一.v2x+ 5/2x+ 5方法总跆由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类 问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层 一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.【训练3】求下列函数的导数：(1)y= Vx2 + 1;(2)y= sin22x；(3)y = e xsin 2x; (4)y= lnj + x2.1x解 (1
