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1、第2讲 数形结合思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,2. 运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则： （1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何 性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏 洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数 的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明
2、，要注意其带来的负面效应. （2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何 分析容易出错. （3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结 合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；,二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系， 做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量 的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择 动直线与定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： （1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范 围; （2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范 围； （3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间 的大小关系； （4）构建
3、函数模型并结合其几何意义研究函数的 最值问题和证明不等式； （5）构建立体几何模型研究代数问题; （6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型 研究最值问题；,（7）构建方程模型，求根的个数； （8）研究图形的形状、位置关系、性质等.4. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方 法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着 奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方 面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时， 应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程） 的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作
4、是两个函数的,表达式（有时可能先作适当调整,以便于作图）， 然后作出两个函数的图象，由图求解.5. 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需 做到以下四点： （1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及 曲线的代数特征； （2）要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化； （3）要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗 漏； （4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决 的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问 题求解. 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用 这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果.,一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的 问题中的应用 例1 （1）已知：函数f（x）
5、满足下面关系. f（x+1）=f（x-1）； 当x-1，1时，f（x）=x2，则方程f（x）=lg x解的个数是（ ）A.5 B.7 C.9 D.10 （2）设有函数f(x)=a+ 和g(x)= 已知x-4,0时恒有f(x)g(x)，则实数a的取 值范围是 .,思维启迪 （1）在同一坐标系中画出y=f(x)和y=lg x的图象,由它们交点个数判断方程的解的个数; (2)先将不等式f(x)g(x)转化为 然后在同一坐标系中分别作出函数 的图象，移动 的图象使其 满足条件，数形结合得要满足的数量关系. 解析 （1）由题意可知，f(x)是以2为周期，值域 为0，1的函数. 又f(x)=lgx，则x(
6、0,10,画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.,（2）f(x)g(x). 即 变形得 令 变形得(x+2)2+y2=4(y0), 即表示以(-2，0)为圆心,2为半径的圆的上半圆；,表示斜率为 纵截距为1-a的平行直线系. 设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为 , 则有,要使f(x)g(x)在x-4,0时恒成立， 则所表示的直线应在直线AT的上方或与它重 合， 故有1-a6, a-5. 答案 （1）C （2）a-5 探究提高 （1）用函数的图象讨论方程（特别是 含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程） 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想 是先把方程两边的代数
7、式看作是两个熟悉函数的 表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟,悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解的个数. （2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不 等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函 数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数 量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免 繁琐的运算，获得简捷的解答. （3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降； 奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域） 经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.,变式训练1 已知f(x)是定义在 （-3，3）上的奇函数，当0x3时， f(x)的图象如图所示，那么不等
8、式 f(x)cos x 0的解集是（ ） A. B. C. D. 解析 不等式f(x)cos x0等价于,f(x)0,cos x0,或,f(x)0,cos x0,画出f(x)在（-3，3）上的图象，cos x的图象又 熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找 出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间 为,答案 B,二、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、 最值问题中的应用例2 已知实数x,y满足x2+y2=3(y0)， （1）求m的取值范围； （2）求证： 思维启迪 m可以看作两点（x,y）与(-3,-1)连线 的斜率，b可以看作直线y=-2x+b在y轴上的截距. (1)解 m可看作
9、过半圆x2+y2=3(y0)上的点 M（x,y）和定点A（-3，-1）的直线的斜率.,由图可知k1mk2(k1,k2分别为直线AM1，AM2的 斜率)， 圆心到切线k2x-y+3k2-1=0的距离为,(2)证明 b可看作斜率为-2,过半圆 (y0)上一点P（x,y）的直线在y轴上的截距. 由图可知n2bn1,P2C的方程为 探究提高 条件中的数量关系决定了几何图形的 性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系， 数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结 合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题 过程.,圆心到切线P1B：2x+y+c=0的距离,x2+y2=3,变式训练2 已知实系数一元二次方
10、程x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根 在区间（1，2）内，求： （1）点（a,b）对应的区域的面积； （2） 的取值范围； （3）(a-1)2+(b-2)2的值域. 解 方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和 (1,2)上的几何意义分别是：函数 与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1）和 （1，2）内，由此可得不等式组,f(0)0,f(1)0,b0,a+2b+10.,y=f(x)=x2+ax+2b,在如图所示的aOb坐标平面内,满 足约束条件的点（a,b）对应的平 面区域为ABC（不包括边界）. （1）ABC的面积为,(h为A到Oa轴的距离).,（
11、2） 的几何意义是点（a,b）和点D（1，2） 连线的斜率. (3)(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点 (1，2)之间距离的平方,(a-1)2+(b-2)2(8,17).,三、数形结合思想在几何问题中的应用例3 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB 是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C 是圆心，求四边形PACB面积的最小值. 思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆.作出圆 的切线PA、PB,则四边形PACB的面积S四边形PACB =SPAC+SPBC=2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的 SPAC 可以有以下多条数形结合的思路.
12、,画出对应图形,利用数形结合明确所求,求解得结果,解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直 线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动 时，直角三角形PAC的面积SRtPAC 越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变 小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂 直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时,方法二 利用等价转化的思想,设点P坐标为（x,y）， 则 由勾股定理及AC=1，得 从而欲求S四边形PACB的最小值， 只需求|PA|的最小 值， 只需求|PC|2=（x-1)2+(y-1)2的最小值，即定点C
13、（1， 1）与直线上动点P（x,y）距离的平方的最小值，它,也就是点C（1，1）到直线3x+4y+8=0的距离的平 方，这个最小值 方法三 利用函数思想，将方法二中 中的y由3x+4y+8=0中解出， 代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最 值，也可得,PACB,探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法： 数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思 想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数 学问题快速得以解决. 变式训练3 （1）已知点P在抛物线y2=4x上，那么 点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距 离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）,A. B. C.(1,2) D.（1，-2）（2）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径 作圆M.若过点 作圆M的两条切线互相垂直, 则该椭圆的离心率为 . 解析 (1)定点Q(2，-1)在抛物线内部，由抛物线 的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的 准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是 直线y=-1和抛物线y2=4x的交点，解得这个点的坐 标是,(2)设切点为A，B，如图所示，切线AP、PB互相 垂直，又半径OA垂直于AP，所以OPA为等腰直 角三角形，可得 所以 答案 (1) (2),
