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1、复数的三角形式 乘法及其几何意义1、复数的三角形式及运算(1)复数的幅角：设复数 Z=abi 对应向量 ，以 x 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线(起点为 O)为终边的角 ，叫做复数 Z 的辐角，记作 ArgZ，其中适合 02 的辐角 的值，叫做辐角的主值，记作argZ说明：不等于零的复数 Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差 2 的整数倍(2)复数的三角形式： r(cosisin)叫做复数 Z=abi 的三角形式，其中说明：任何一个复数 Z=abi 均可表示成 r(cos isin)的形式其中 r 为 Z 的模， 为 Z 的一个辐角(3)复数的三角形式的运算：设 Z=r(cosi
2、sin)，Z 1=r1(cos1isin 1)，Z 2=r2(cos2isin 2)则2、复数的几何意义(1)复数模的几何意义： ，即 Z 点到原点 O 的距离，一般地|Z 1Z 2|即 Z1 点到 Z2 点的距离(2)复数加、减法的几何意义图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义即 Z=Z1Z 2，(3)复数乘、除法的几何意义：设 Z1=r1(cos1isin 1)，则 ZZ1 的几何意义是把 Z 的对应向量 按逆时针方向旋转一个角 1(如果 10，就要把 按顺时针方向旋转一个角| 1|，再把它的模变为原来的 r1 倍，所得向量 即表示积 ZZ1，如图，Z 10, 的几何
3、意义是把 Z 的对应向量 按顺时针方向旋转一个角 1(如果 10，就要把 按逆时针方向旋转一个角| 1|，再把它的模变为原来的 倍，所得的向量即表示商 .概念：1、复数的三角形式：设|z|=r（r0） ，辐角主值：argz= ， 那么复数 z= 2、复数三角形式的几点要求： 3、回顾练习：下列那一个是复数的三角形式：(A) (cos -isin ) (B) - (cos +isin ) (C) (sin +icos ) (D)cos +isin13214215456把下列复数化为三角形式：-3= ； ;i一、 复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设 z1=r1(cos +isin )，z 2=
4、r2(cos +isin )，r 10,r 20那么：z 1z2= 此定理用语言叙述为： 【例题 1】1、求下列复数的积： (cos +isin ) (cos +isin )212363(cos75+isin75) (cos15+isin15)(cos3A+isin3A) (cos2A-isin2A)定理的推广：设 zn=rn(cos n+isin n),其中 rn0于是：z 1z2z3zn=r1r2r3rncos( 1+ 2+ 3+ n)+isin( 1+ 2+ 3+ n)（当 1= 2= 3= n 时 z1n=cosna+isinna）1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算
5、结果一般保留代数形式)8(cos +isin )2 (cos +isin )= 68(cos240+isin240)2 (cos150-isin150)= 3(cos18+isin18) 2 (cos54+isin54) 5 (cos108+isin108)= |3(cos -isin ) (1+i) (sin22+icos22)|= 1二、复数乘法的几何意义：两个复数 z1、z 2相乘时，可以先画出分别与 z1、z 2对应的向量、 ，然后把向量 按逆时针方向旋转 （ 0 如何？）1OZ2OZ1再把模变为原来的 r1倍，所得的向量 就表示积 z1z2.*特征：旋转+伸缩变换r2xyOZ2r1r
6、1r2Z1zM向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.【例题 2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：8(cos +isin )2 (cos +isin )：6128(cos240+isin240)2 (cos210-isin210)：3(cos18+isin18) 2 (cos54+isin54) (cos108+isin108)：【例题 3】1、 对应复数-1+i,将 按逆时针方向旋转 120 后得到 ，OZOZZO求 对应复数 z2、 （2000 全国）把复数 3- i 对应向量按顺时针方向旋转 ，所得向量对应复数为( )331(A)2 (B) -2 i (C) -3i (D
7、) 3+ i 33、Z A=1,ZB=3+2i,并且 ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四个顶点，求 ZC与 ZD.第反馈 2 题【反馈练习 2】如果向量 对应复数 4i， 逆时针旋转 45 后再把模变为原来的 倍得到向量 ，那么OZZ 1OZ与 对应的复数是 1Z2、正ABC 的顶点 A、B、C 对应复数 ZA、Z B、Z C，点 A、B、C 按逆时针顺序排列，那么（ ）(A)ZC=(ZB-ZA) (cos60+isin60) (B) ZC=(ZB-ZA) (cos60-isin60) (C) ZC=ZB (cos60+isin60) (D) ZC=ZA+(ZB-ZA) (cos60+i
8、sin60)三、知识小结：(1)、积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和(2)、复数的乘法 向量的旋转与伸缩(3)、做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.四、练习1、已知 0，且，复数 Z=tani(1)求 Z 的三角形式； (2)若|Z|2， 求 argZ 的取值范围O xyZZ120O xyZZxZOyZ1O ABCDxy2. 已知复数 ， 求复数zi1z2361的 模 和 辐 角 主 值 。3. 求复数 1327（ ） 的 模 及 辐 角 主 值 。i4. 已知复数 zzziz1212121275,， 满 足 ， 且 ， 求 的 值 。5. 求使 5320inn的 最 小 自 然 数 。6. 设 ziziz（ 123)(),（1）求 的 最 大 值 和 最 小 值 。（2）求复数 z 的实部和虚部之和的最大值和最小值。7. 已知 ， （1）求|z| 的最值；（2）求 argz 的取值范围。23zi
