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1、课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系教学目的：1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系 奎 屯王 新 敞新 疆2. 了解复数加减法运算的几何意义 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系教学难点：复数加减法运算的几何意义 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型：新授课 奎 屯王 新 敞新 疆课时安排：1 课时 奎 屯王 新 敞新 疆教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、复习引入：1.若 ， ，则(,)Axy(0,)O,Axy2. 若 ， ，则 ，1a),2bba),(2121yx,(2yx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
2、 奎 屯王 新 敞新 疆3. 若 ， ，则),(1yA),(2B1212,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆即 = =( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1) 奎 屯王 新 敞新 疆O4.复平面、实轴、虚轴：复数 z=a+bi(a、bR)与有序实数对( a，b)是一一对应关系 奎 屯王 新 敞新 疆 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对( a，b) 惟一确定，如 z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如 z= 2+i 可以由有序实数对(2，1)
3、 来确定；又因为有序实数对(a，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2) 它与平面直角坐标系中的点 A，横坐标为 3，纵坐标为 2，建立了一一对应的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 b Z(a，b)aoyx对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为
4、(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆在复平面内的原点(0，0)表示实数 0，实轴上的点(2，0) 表示实数 2，虚轴上的点(0 ，1)表示纯虚数i ，虚轴上的点(0 ，5)表示纯虚数 5i 奎 屯王 新 敞新 疆非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3) 表示的复数是2+3i，z =53i 对应的点 (5，3)在第三象限等等.复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内
5、的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.5.复数的加(减)法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). 二、讲解新课：复平面内的点 平面向量(,)Zab 一 一 对 应 OZ2. 复数 平面向量zi 一 一 对 应3.复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi，z 2=c+di，在复平面上所对应的向量为 、 ，即 、 的坐标形式为OZ21Z2O=(a，b)， =(c，d) 奎 屯王 新 敞新 疆 以 、 为邻边作平1 12Z行四边形 OZ1
6、ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是 ， = + =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d) (a+c)+(b+d)iZ24. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(ac)+(bd)i，所以 zz 1=z2，z 2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线，OZ为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向1OZ量 就与复数 zz 1 的差( ac )+(bd)i 对应 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 ，所以，两个2 21复数的差 zz 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.三、讲解范例：例 1 已知复数 z1=2+i，z 2=1+2i 在
7、复平面内对应的点分别为 A、B，求对应的复数 z，z 在平面内所对应的点在第几象限？AB解：z=z 2z 1=(1+2i)(2+i)=1+i，z 的实部 a= 10，虚部 b=10，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即 所表示的复数是 zBz A. ，而 所表示的AB复数是 zAz B，故切不可把被减数与减数搞错 奎 屯王 新 敞新 疆 尽管向量 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，
8、而与位置无关 奎 屯王 新 敞新 疆例 2复数 z1=1+2i，z 2=2+i ，z 3=12i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用 ，求点 D 的对应复数.BCA解法一：设复数 z1、z 2、z 3 所对应的点为 A、B、C，正方形的第四个顶点D 对应的复数为 x+yi(x，yR )，是：=(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2) i;O=(12i)(2+ i)=13i.BC ，即(x1)+(y 2) i=13i，A 解得,32y.1,故点 D 对应的复数为 2i.分析二：利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解.解法
9、二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点 O 为正方形的中心，于是( 2+i)+(x+yi)=0，x=2，y=1.故点 D 对应的复数为 2i.例 2 图点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习：1.已知复数 z1=a23+(a+5)i,z 2=a1+(a 2+2a1) i(aR) 分别对应向量 、1OZ（O 为原点） ，若向量 对应的复数为纯虚数，求 a 的值.2Z1Z解： 对应的复数为 z2z 1，则21z2z 1=a1+(a 2+2a1)i a23+(a+5)i =(aa 2+2)+(a2+
10、a6) iz 2z 1 是纯虚数 解得 a=1.062已知复平面上正方形的三个顶点是 A（1，2） 、B（2，1） 、C（1 ，2） ，求它的第四个顶点 D 对应的复数.解：设 D（x,y),则对应的复数为(x+yi) (1+2i )=(x1)+(y2) iOA对应的复数为：(12i)( 2+i )=13 iB (x 1)+(y 2)i =13iC ,解得32y1D 点对应的复数为 2i 奎 屯王 新 敞新 疆五、小结 ：复数加法的几何意义：如果复数 z1，z 2 分别对应于向量 、1OP，那么，以 OP1、OP 2 为两边作平行四边形 OP1SP2，对角线 OS 表示的向2OP量 就是 z1+z2 的和所对应的向量 奎 屯王 新 敞新 疆 复数减法的几何意义：两个复数的差Szz 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.六、课后作业： 奎 屯王 新 敞新 疆七、板书设计（略） 奎 屯王 新 敞新 疆八、课后记： 奎 屯王 新 敞新 疆
