基于GARCH族模型的上证50ETF期权定价研究9900字 考虑到金融资产日收益率分布普遍地存在显著的尖峰厚尾现象，且其波动率存在时变性特征，本文运用自回归条件异方差系列模型（GARCH模型、TGARCH模型和EGARCH模型）来建模上证50ETF收益的波动率，并应用于上证50ETF期权定价数值结果表明：上证50ETF收益率波动存在明显的时变性特征；由GARCH族模型计算得到的期权价格，与真实价格之间不存在显著差异；此外，考虑了非对称性波动影响的TGARCH和EGARCH模型，要比GARCH模型能更好刻画现实市场波动率动态特性，从而取得了更高的期权定价准确度 GARCH模型 TGARCH模型 EGARCH模型 期权定价 蒙特卡洛模拟 一、引言 金融衍生品挂牌交易，是基于通货膨胀、供需情况、汇率、利率及标的物价格未来走势的预期等信息基础上竞价成交的，因而交易价格的变化反映了市场的供需关系，是现货价格未来走势的重要信息来源，可为现货市场的成交价格提供重要的参考作用此外，金融衍生工具不仅能够进行市场预期并发现价格，而且可以通过套期保值来降低价格风险因此，自产生以来，金融衍生工具交易量呈逐年上升趋势，已经成为整个市场体系不可缺少的一个重要组成部分。
经过多年的发展，我国的资本市场也不断地走向成熟，在经过长时间的筹备与模拟测试，我国首个期权合约品种“上证50ETF期权”终于应运而生，于2015年2月9日正式在上海证券交易所挂牌交易，个股期权等其他更多的交易品种也有望在年后推出，由此，2015年也被称为是中国期权的元年但是，由于我国期权市场刚刚成立，对于符合我国国情的金融衍生工具的定价研究仍较为缺乏 国内外学术界对期权的定价理论研究有着很长的历史1973 年由Blake和Scholes提出的传统的B-S模型是一个假设股票价格服从几何布朗运动，在无套利的分析框架下给出的期权定价公式[1]Merton（1976）认为市场证券的价格分布往往并非是光滑移动的，而是呈现间断的“跳空”过程，提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型，在股票价格服从几何布朗运动之上加入了各种跳跃[2]这两个模型中都包含了常数波动率假设，但是越来越多的实证研究结果表明，金融产品的收益率分布存在着显著的尖峰、厚尾和非对称等特征同时，其波动率也并非常数，而具有时变性、波动聚集性所以，放松波动率为常数的假设，研究波动率的动态变化特性，这对于提升期权定价的准确性具有重要意义 针对这一内容，当前国内外很多学者都做出了不懈地努力，研究工作大体上可归为两大类：一是，为资产收益波动率构建适当的连续动态方程，如假设波动率为随机过程，Hull和White（1987）[3]、Scott（1987）[4]、Heston（1993）[5]等建立了随机波动率模型；Bates（1996）[6]和Scott（1997）[7]建立了随机波动跳-扩散模型，该模型的优点是能较好刻画出隐含波动率的“微笑”与“偏斜”效应。
然而，由于非交易的波动是不能任意用现存资产来复制，因此，波动率方程自身的模型误定风险（misspecificationerror）会使期权定价更加复杂化尽管从数学角度可以通过一些不现实的假设来简化波动风险模型，但金融实践中要用此模型计算出期权定价，仍然需要使用复杂的数量方法第二个分支是，利用时间序列方法来构建波动率的离散动力系统，如广义条件自回归（GARCH）系列模型{1}GARCH族模型在某?N意义上可视为随机波动率模型的离散时间版本，其优点在于：能直接从股票的历史价格中得出收益波动率，而不必从同期其他期权推出内含波动率；此外，它具有一定的波动率预测功能 自GARCH模型提出以后，人们自然联想到利用GARCH模型来定价期权Duan（1995）通过局部风险中性定价关系（localrisk- neuralvaluationrelationship），建立了基于GARCH模型的离散时间序列的期权定价模型Hardle和Hanfner（2000）在Duan的工作的基础上，应用TGARCH模型对德国市场期权进行定价，发现基于TGARCH模型的定价结果与BS模型和GARCH模型相比，更接近真实价格。
Jong和Lehnert（2001）则认为EGARCH模型能较好地刻画不同期限的“波动率微笑”曲线，构建了一个估计指数期权局部波动率的EGARCH模型，并成功地解释和预测了实际的波动率[10]王健，李超杰，何建敏（2006）建立了有交易成本的GARCH 扩散期权定价模型[11]LouisH.Ederington，WeiGuan（2007）对GARCH系列所有模型做了实证研究，发现GARCH（1，1）和TGARCH模型在高波动的时间段内预测偏差特别大[12]Christoffersen，Elkamhi，Feunou（2007）基于Duan（1995）的GARCH模型，分析了条件非正态分布和条件正态分布下的定价差异，发现前者的定价效果要好于后者[13] 然而，到目前为止，用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究的，并不多见，部分原因在于上证50ETF期权诞生时间非常短暂因此，本文尝试在这方面做点工作，利用GARCH族模型对上证50ETF期权进行定价研究，试图通过比较三个模型的定价效果，探寻适用于我国现阶段50ETF期权市场的定价模型 二、GARCH族模型 （一）GARCH模型 传统时间序列模型都假定波动率并不随时间变化的，但在现实市场中波动率具有时变性。
Engle提出的ARCH模型能够很好刻画波动率的这种时变特性 对于某一时间序列yt，其变化规律可由下述回归模型描述： ■ （1） 在t时刻可获得的信息集为Ωt-1的条件下，误差项εt遵循以0为期望、ht为条件方差的正态分布，即■=0，■亦可写作■，其中■ ■ （2） 其中，■，且■，即条件方差具有m阶自回归形式，则称误差项εt服从m阶自回归条件异方差，记■过程 上面定义的条件方差，可理解为在己知信息集为Ωt-1（该信息集包括前期所有的误差项信息，如■的条件下，t时刻干扰项εt的方差对于由公式（2）表示的条件方差，表明前期的m阶误差项对本期误差项εt有着正向且持续的影响通过该机制，当前期误差值较大时，本期误差值就较大；当前期误差值较小时，本期误差值就较小由此较好的刻画了ARCH模型所描述的波动率集聚现象当随机误差项具有异方差性，若用传统的最小二乘法估计就会产生偏差，若使用ARCH模型，则可提高预测精度，亦可知其准确性当方差较大时，预测值的置信区间会较小，故具有较好的可靠性 虽然ARCH模型较传统的时间序列模型有所改进，但是仍存在很多缺点，如在现实中应用ARCH模型，为了得到更好的拟合效果需要很大的阶数m，这样不仅增大了计算量，还会带来诸如解释变量多重共线性等其他问题。
为了修正ARCH模型的缺点，Bollerslev在1986年对ARCH模型进行扩展，得到了GARCH模型： ■ （3） 由（3）式可看出，GARCH模型与ARCH模型的不同之处在于：扰动项εt的条件方差不仅受到前期残差项平方（■）的影响外，还要受到条件方差滞后项（■）的影响因此GARCH模型比ARCH模型更具有一般性同时，ARCH模型只是GARCH（p，q）中q=0时的一个特例GARCH模型具有很强的概括能力，可以用低阶的GARCH模型来代表高阶的ARCH模型，从而使得模型的识别和估计都变得比较容易 （二）EGARCH模型 从式看，GARCH模型确实在很大程度上解决了ARCH模型的一些缺陷，且具有较好的可操作性，但GARCH模型（3）依然存在一些缺陷而无法完全刻画金融时间序列波动率的特征，其中最重要的一个缺陷是：GARCH模型没有反映“利空”消息和“利好”消息对股价产生非对称性冲击这个事实为克服此缺陷，Nelson（1991）将市场信息的非对称影响效应融入到GARCH模型中，提出了指数GARCH模型，即EGARCH模型 对于序列■，其中■，Vt服从标准正态分布，即Vt～N（0，1）。
EGARCH（1，1）模型的条件方差方程可写成： ■ （4） 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的 非对称效应的存在能够通■过的假设得到检验只要■，冲击的影响就存在着非对称性 更高阶的EGARCH（p，q）模型可表示为： ■ （5） 实际应用中，通常会对上述模型进行变换，由■，可得■，模型可变换为： ■ （6） 虽然式（6）和Nelson的模型（5）设定的不同，但是在对这两个模型进行估计而得到的结果中，系数α和β的估计量是相同的，不同的只是截距项ω的值，它将根据分布假设和阶数p的变化而变化，这并不影响分析的结果同时Nelson假设vt的条件分布是服从广义误差分布（GED），而在实际应用中，可以允许其在正态分布、学生t分布和GED分布中进行选择 （三）TGARCH模型 与EGARCH模型目的相似，为刻画市场波动率的非对称效应，Zakoian（1994）提出了TGARCH模型，该模型中的条件方差方程被设定为： ■ （7） 其中■是一个虚拟变量，当■时，■；否则，■；只要■，就存在非对称效应 在式（7）中，条件方差方程中的■项，称为非对称效应项，或TGARCH项。
条件方差方程表明ht依赖于前期的残差平方■和条件方差■的大小好消息（■>0）和坏消息（■0时，■=0，式（7）中的非对称项不存在；而坏消息则有一个■倍的冲击，这是因为，当■0，说明存在杠杆效应，利空消息对市场产生的冲击要比利好消息的程度大，即非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果γ<0，表明利好消息会带来更强的市场波动而利空消息会降低市场的波动，即非对称效应的作用是使得波动减小 三、基于GARCH族模型的期权定价原理 下面主要以Hardle和Hanfner（2000）构建的基于TGARCH模型的期权定价为例，阐述期权定价的基本原理该文选择的风险溢价均值方程为： ■ （8） 式中，ω，α，β是满足平稳条件的常数λ可以解释为每一风险的单位溢价 模型（8）是在自然测度P下进行估计的为得到风险中性测度Q下的鞅过程，Duan（1995）构造了一个新的误差项ηtηt加入了时变风险溢价，即■在测度Q下，模型变为： ■ （9） 运用蒙特卡洛模拟的方法，模拟出基于GARCH模型（9）的风险资产价格时间序列由于这是在风险中性概率的条件下进行模拟的，所以可以通过无风险利率对期末现金流进行贴现，这样就可以估算出期权的价值了。
值得一提的是，GARCH模型的起始波动率σ0选择，对期权定价结果具有一定影响本文采用现有文献普遍使用的稳态波动率，作为GARCH模型的起始波动率由GARCH模型（9）知，?态波动率■为■ 考虑到GARCH模型在我国证券市场的实证结果[14]，证券收益均值方程一般写成 ■ 再应用Duan（1995）方法，将上述方程转换为风险中性测度Q下标的资产价格方程，即 ■ （10） 其中νt为标准正态分布随机变量 最后，通过迭代就能得到期权到期日T时刻的价格PT从而，由蒙特卡洛模拟方法得到的期权价格可表达为： ■ （11） 其中M为独立仿真的资产价格路径数 基于EGARCH和TGARCH模型的期权定价方法与上面基本类似，仅波动率的计算方法有所不同在此不再赘述 四、数值实验 （一）数据选取 关于基础标的资产，本文选用2005年2月23日-2015年4月7日上证50ETF每日收盘价（共计2459个数据）作为原始数据，。