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1、DAO KE ER WANG LUO KE JI YOU XIAN GONG SI为美好的明天加油 等比数列的性质总结 等比数列的所有性质等比数列的性质总结1. 等比数列的定义：2. 通项公式： a n =a 1qn -1a n a n -1=q (q 0)(n 2, 且n N*)，q 称为公比=a 1qq =A Bn n(a 1q 0, A B 0)， 首项：a 1；公比：q推广：a n =a m q n -m ， 从而得q n -m =3. 等比中项a n a m或q =n （1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：A 2=ab 或A =注意：同号的两个
2、数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列a n 是等比数列a n 2=a n -1a n +14. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1a 1(1-q 1-q =a 11-q-n(2) 当q 1时，S n =)=a 1a 1-a n q 1-qn1-qq =A -A B =A B -A （A , B , A , B 为常数）n n5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或a n +1a n=q (q 为常数，a n 0) a n 为等比数列2（2） 等比中项：a n =a n
3、 +1a n -1（a n +1a n -10）a n 为等比数列（3） 通项公式：a n =A Bn(A B 0)na n 为等比数列n（4） 前n 项和公式：S n =A -A B 或S n =A B -A (A , B , A , B 为常数)a n 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若a n a n -1=q (q 0)(n 2, 且n N*)或an +1=qa n a n 为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即
4、知3求2。n -1（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q如奇数个数成等比，可设为，a q2,a q； , a , aq , aq （公比为q ，中间项用a 表示）28. 等比数列的性质 (1) 当q 1时等比数列通项公式a n =a 1q n -1=a 1(1-q 1-qna 1qq =A Bn n(A Ba 11-q0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q前n 项和S n =)=a 1-a 1q 1-qna 11-q-q =A -A B =A B -A ，系数和常数项是互为相反n n n数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n N *, 在
5、等比数列a n 中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, tN *), 则a n a m =a s a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2 (4) 列a n , b n 为等比数列, 则数列列.(5) 数列a n 为等比数列, 每隔k(kN *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列 (6) 如
6、果a n 是各项均为正数的等比数列, 则数列loga a n 是等差数列 (7) 若a n 为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比数列(8) 若a n 为等比数列, 则数列a 1a 2a n , a n +1a n +2a 2n , a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列 (9) 当q 1时， 当0k a n, k a n , a n , k a n b n ka n b n(k为非零常数) 均为等比数a 11n1na 0，则a 为递增数列a 0，则a 为递减数列当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q(10)在等比数列a n 中, 当项数为2n (nN *) 时,S 奇S 偶=1q,.(11)若a n 是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n S m注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a 1和q 的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量少年强，则国强第 7 页 共 7 页
