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1、 长春市实验中学2020-2021学年上学期期中考试高三文科数学试卷考试时间：120分钟 分值：150分第卷 选择题（60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A1，0，1，3，5，B x|x3或x1，则 （）A1，0，5B1，2，3C2，3D1，32复数（其中为虚数单位），则 （）ABC2D3若向量，则与的夹角余弦值为 （ ）ABCD4算法统宗全称新编直指算法统宗，是古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，
2、甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） （ ）A乙分8两，丙分8两，丁分8两 B乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D乙分9两，丙分8两，丁分7两5若直线与圆相切，则实数a的值为 （ ）A1或7B2或-2C1D-1 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A B C D7.函数的图像大致为（ ）ABCD8.设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有 （ ）ABCD9函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是 （ ）ABCD10已知，是球的球面
3、上的五个点，四边形为梯形，面，则球的体积为 （ ）ABCD11. 已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD12设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是 （ ）ABCD第卷 非选择题（90分）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某社团计划招入女生人，男生人，若满足约束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为 14若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 15设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意实数恒有，当时，若在上有三个零点，则的取值范围为_16在ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,，ABC的面积记为
4、S，则当取最小值时， 三解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.）17（本小题满分12分）在数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和18. （本小题满分12分）已知的角、所对的边分别是、，设向量，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.19. （本小题满分12分）某华为手机专卖店对某市市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁）合计频数
5、5x35y10100（1）求频数分布表中，的值，并补全频率分布直方图；（2）在抽取的这100名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加华为手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部华为mate40手机，求这2人中恰有1人的年龄在内的概率.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且平面（1）证明：平面平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积21（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）证明：恒成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线的参数方
6、程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上(不与，重合)，试求的面积的最大值23（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（）的一个零点为（1）求不等式的解集；（2）若，求证：.数学试卷(文科)答案一、选择题题号123456789101112答案DACCDACADACB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分来源:学&科&网139 14 15 16 3 解答题答案17.（12分）【解析】（1）的两边同时除以，得，.3数列是首项为4，公差为2的等差数列.4 .6（2）由（1），
7、得，.7故，.9 .10.1218. （12分）【解析】因为，所以，.2即,其中是的外接圆半径， .4所以，所以为等腰三角形. .6因为，所以.7由余弦定理可知，即.9解方程得：（舍去）.10所以.1219.（12分）【解析】（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，.2解得.3频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的，.5所以补全的频率分布直方图如下：.6（2）由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在内的市民的人数为，记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为，.从这5人中任取2人的所有基本事件为：，共10种不同的取法.记“恰有1人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有4个：，共有4种不同的取法
8、，所以这2人中恰有1人的年龄在内的概率为.1220. （12分）【解析】（1）在中，由余弦定理得，又平面，平面，平面，平面，平面平面.6（2）因为为的中点，所以三棱锥的体积，所以三棱锥的体积.1221. （12分）【解析】（1），.1当时，恒成立，所以，在上单调递增；.2当时，令，得到，所以，当时，单调递增，当时，单调递减.4综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.5（2）证法一：由（1）可知，当时，.6特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，.8设 ，则，当时，单调递减，当时，单调递增所以，当时，即在上恒成立.11因此
9、，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立.12证法二：记函数，则，.6可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，且，则，即（*），.8当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，.11则，即，所以有恒成立.1222 （10分）【解析】（1）由，得，所以，所以圆的直角坐标方程为，.1将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.2所以直线被圆截得的弦长为.3（2）直线的普通方程为，.4圆的参数方程为（为参数），.5可设圆上的动点，.6则点到直线的距离，.7当时，取最大值，且的最大值为，.8所以，.9即的面积的最大值为.1023（10分）【解析】因为函数（）的一个零点为，所以 .1又当时，上述不等式可化为或，或.3解得或或.4所以或或，所以原不等式的解集为.5（2）由（1）知，因为，.6所以，.8当且仅当，时取等号，所以 .10第 13 页 共 13 页
