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1、考点05 函数的基本性质（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性1函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2单调区间的定义若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，
2、区间叫做函数的单调区间注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)学科网3函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减
3、)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减4函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的
4、最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.二、函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）2函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上
5、的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则（4）若函数是偶函数，则（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：函数为偶函数，函数为奇函数函数（且）为奇函数函数（且）为奇函数函数（且）为奇函数三、函数的周期性1周期函数对于函数，如果存在一个非零常
6、数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3函数周期性的常用结论设函数，.若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周
7、期为.考向一 判断函数的单调性1判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2在利用函数的单调性写出函数的单调
8、区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间典例1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是A若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为增函数B若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为减函数C若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为增函数D若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为减函数【答案】C【解析】f(x)为增函数，g(x)为减函数，f(x)g(x)的增减性不确定例如f(x)x2为R上的增函数，当g(x)x时，则f(
9、x)g(x)x2为增函数；当g(x)3x，则f(x)g(x)2x2在R上为减函数，不能确定故选C.典例2 已知函数，且.（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知得，.任取，且，则，又，即，即，函数在上为单调增函数.（2），且由（1）知函数在上为单调增函数，即，化简得， 的取值范围为（不写集合形式不扣分）.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由，代入解析式即可得，进而得，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，所以得，求解不等式即可.用定义法证明函
10、数的单调性的步骤：取值；作差；变形；确定符号；下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.1下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A B C D考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围若函数为分段
11、函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值（4）利用函数的单调性解不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内典例3 定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则A BC D【答案】D【解析】因为对任意的，（），有，所以函数在上是减函数，因为，所以，故选D典例4 已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有（1）求的值；（2）解不等式.【解析】（1）令，则，.（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，即.，且，可化为，即，则，解得.不等式的解集为解法二：由，即，则，解得.不等式的解集为2设函数
12、，则不等式成立的的取值范围是A B C D考向三 函数最值的求解1利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.2求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取
13、值范围是 【答案】【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，因为，所以当时，所以，所以实数的取值范围是.典例6 已知函数，若xt，t2，求函数f(x)的最值【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x1，（1）当1t2，即时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.（2）当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.（3）当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.（4）当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x
14、)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有 ，.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3若函数在上的最大值为，最小值为，则A B C D考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商
