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1、深圳外国语学校2021届高三第二次月考数学 试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1.设集合，则= （ ）A B C D2.设，则“”是“”的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3. 已知偶函数在上是增函数，若，则，b，c的大小关系为 （ ）A B C D4.已知复数满足,则复数对应的点在（ ）上A直线 B直线 C直线 D直线5.设正实数满足（其
2、中为正常数）,若的最大值为3，则= （ ）A.3 B.C .D.6.已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为 （ ）A. B. C. D. 7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D.8.函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为 （ ）A.无穷多 B.6 C.5 D.49.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则 （ ） A. B. C. D. 10.已知数列满足：，用 表示不超过的最大整数，则的值等于 （ ）A.1 B. 2 C.3 D.411.设，则下列不等式中，成立的是
3、 （ ）A. B.， C. D.12.一个等腰直角三角形内有一个内接等腰直角三角形，（即三点分别在三角形三边或顶点上），则两三角形面积比的值可能为 （ ）A B、 C、 D、二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13.已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 .14.已知向量与的夹角为30，且，则等于 .15.设正项的等比数列的前项和为，若满足，则 .16.设函数，,则函数零点的个数有 个.三、解答题（本大题6小题，共70分，第17题10分，第1822题每题12分）17.已知函数.（1）若的最小值是2，求的值；（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，
4、当时，求使成立的x的取值集合.18.已知等差数列的公差，若，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和19.在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角;（2）求的取值范围.20.已知为实数，函数.（1）若，求实数的值并求出函数在处的切线方程；（2）设为在区间上的最小值,请写出的表达式.21.已知数列满足. （1）当时，求数列的前项和;（2）若对任意，都有成立，求的取值范围.22.已知函数，其中.（1）求的单调区间;（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题第10题为单项选择题，在给出的四个
5、选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1.B;解：，则，故选B.2.B;【解析】由，得，所以，反之令，有 成立，不满足，所以“”是“”的必要而不充分条件选B3.C；解;由题意为偶函数，且在上单调递增，所以,又，所以，故，选C4.C解：因为，所以复数对应的点是 ，所以在直线上5.D；解：，则，所以故选D.6.D;解：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上.通过数形结合可得的最大值为，故选D.7.A;解：根据三视图，知
6、该三棱锥是底面为腰长为2、底为的等腰三角形，侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为、高为的三角形，所以该三棱锥的表面积为，故选A.8.D;解：与的图像关于原点对称，在同一坐标系内作出函数和函数的图像，知两个图像有4个交点.所以函数的图像关于原点对称的点有4对，故选D.9.B ;解：,即因为定义在上，令则则函数在上单调递增.由得，即，同理令 则函数在上单调递减.由得，即。故选B10. A;解：由得，.由得，知从以后都大于1，则,故选A.11.答案：ABD解析：由幂、指对函数的图像与性质可得提示：，12.答案：AB解析：如图，由两种方式 （1）左图中R为AB中点，设ABC的直角边长,为PQ
7、R的直角边长为x, 则 （2）右图中， 综上，最小值为，最大值显然为1. 所以选A，B二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13、解析 则14、解析由题意可得，即15、答案：4解析：时得： 时得：16、答案：8解析：作出图像，共有8个公共点，注意在处不是公共点。三、解答题（本大题6小题，共70分，第17题10分，第1822题每题12分）17.已知函数.（1）若的最小值是2，求的值；（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，当时，求使成立的x的取值集合.【解析】（1）化简，求出最小值，即可求解；（2）根据平移关系求出，再解关于三角不等式，即可求解.【详解】（1） 2分，4分
8、（2） 由，知， 6分 8分解得， 满足的x取值的集合为.10分18.已知等差数列的公差，若，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解答】解：（1），成等比数列，化简得，3分由可得，数列的通项公式是；6分（2）由（1）得，9分12分19.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）求的取值范围.解：（1）方法一：使用余弦定理2分 4分由余弦定理得： 6分方法二：观察等式齐次，考虑使用正弦定理2分 4分 6分（2） 9分 为锐角三角形 12分20.已知为实数，函数.（1）若，求实数的值并求出函数在处的切线方程；（2）设为在区间上的最小值,请写出的表达式.解析：（1
9、）解：函数的定义域为，（）2分 3分则，则则函数在处的切线方程为 5分（2）（）若，则，在区间上单调递增若，令，得，当时，当时，有单调递减区间，单调递增区间 7分所以若，在上单调递增，所以 8分 若，在上单调递减，在上单调递增，所以10分若，在上单调递减，所以综上所述， 12分21.已知数列满足.（1）当时，求数列的前项和;（2）若对任意，都有成立，求的取值范围.解：（1） 可得： 2分中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4当时， 当为奇数时， 4分所以当为偶数时 为奇数时 6分（2）解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4当为奇数时， 化简后可得： 所以只需设 解得：或9分当为偶数时，同理：， 化简可得：即设可得：综上所述：或 12分22.已知函数，其中.（1）求的单调区间;（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.解：（1）当时， 在单调递增2分当时，在单调递增，单调递减 4分（2）解：恒成立的不等式为： 设6分即由（1）可得：在单调递减 若则 即在上单调递增 8分 若即则 即在上单调递减，而 10分 当时，在单调递减，在上单调递增 单调递减 综上所述：的最大值为 12分- 15 -
