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1、1课程类型：新授课课 题 第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换授课学时：2 学时教学内容1、 矩阵的初等变换，几类特殊形矩阵，矩阵等价；2、 初等矩阵的定义；3、 初等矩阵的初等变换与初等矩阵关系；4、 矩阵的初等变换的应用。教学目标1、知识目标：理解并掌握初等变换、初等矩阵定义，理解初等矩阵与初等变换的关系，理解矩阵等价关系，并能够将矩阵化为标准形，会应用初等变换解决问题。2、能力目标：培养学生抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，自主学习能力及应用数学的知识和方法分析问题和解决问题的能力。3、素质发展目标：善于观察现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养；培养学习运
2、用准确、简明、规范的数学语言表达问题提出解决方案的素养；培养良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；对各种问题能以“数学方式”进行理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养。教学重点1、 用消元法解线性方程组；2、 初等变换对应着初等矩阵及相互关系；3、 初等变换应用。教学难点 1、 对矩阵初等变换的理解；2、 初等矩阵和初等变换间的关系。参考资料 1 线性代数附册：学习辅导与习题选解 高等教育出版社2 线性代数 （第五版） 高等教育出版社教学方法1、教学方法：课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点，用分析证明、分类举例的方法突破难点；采用讨论法，通过设置一些问题组
3、织学生进行讨论2、探究式教学23.1 矩阵的初等变换一、引例求解线性方程组 12341234(1)5283()xx*解的过程：消元 回代解：1234(2)134 4(1)82*53(4)xx 1234(3)1(2)4 418(2)34xx 1234(3)1(2)4 (1)8230()xx 回代可以得到方程组的解。 ，其中 可取任意值。132457x3x解线性方程组的同解变形： (1) 互换两个方程的位置(2) 用非零数乘某个方程(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程、前面我们已经看到，无论是采用克拉默法则求解线性方程组或者是采用逆矩阵的定义法求解逆矩阵都需要很大的计算量，因此我们迫切需要新的
4、计算方法。通过对引例题的讲解，使学生认识解方程组的同解变形的三种形式与矩阵的变换的三种类型。3方程组： 121212nmmnaaLMx12mbM或者 Axb增广矩阵： B思考：（1）线性方程组的消元过程与其增广矩阵的化简过程是一一对应的，那么线性方程组的同解变形过程对应到矩阵是什么过程呢？（2）同解变形的实质是将原方程组化为同解的简单方程组形式，那么相应的增广矩阵化为什么形式？（3）矩阵变化前后是什么样的关系？说明 ：1) 解线性方程组可以通过对其对应的增广矩阵做一系列变换来进行; 2) 引例中最后一个方程组称为阶梯型方程组, 其对应的矩阵称为行阶梯型矩阵(简称阶梯形矩阵), 其特点是每一个非
5、零行的第一个非零元素下方的元素全为零. 用矩阵的变换表示方程组的求解过程如下：增广矩阵： BAb1231230808451411230840思考：解线性方程组是线性代数解决的重要内容，同解变形具体过程是什么，目的是什么?对线性方程组的研究完全可以通过对其增广矩阵的分析来完成，对应矩阵相应过程是什么，化为什么？是不是具有推广意义？应用有哪些？逐一揭晓。二、矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换定义 1 对矩阵做如下三种变换称为矩阵的初等行(列)变换: 1)对调矩阵的任意两行(对调 两行, 记作 ); jijir消元法解线性方程组实质：把原方程化为与之同解的简单线性方程组。矩阵的初等变换是线性代数的一个
6、重要工具学生思考回答问：（1）变换前后矩阵是什么关系？42)用 乘矩阵的某一行(第 行乘 , 记作 ); 0kikkri3)将矩阵的某一行乘数 加到另一行(第 行的 倍加到第 行上, 记kji作 ). jir把定义中的“行”换成“列”, 即得初等列变换的定义(所用记号是把 换成 ). 矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等c变换. 说明：矩阵的三种初等变换都是可逆的; 2、矩阵的等价 （1）若矩阵 经有限次初等行变换变成 , 则称 与 行等价, 记为: ABA; Br（2）若矩阵 经有限次初等列变换变成 , 则称 与 列等价, 记为: ; c（3）若矩阵 经有限次初等变换变成 ,
7、则称 与 等价, 记为: A. 矩阵等价关系具有以下性质: (i) 反身性 ; (ii) 对称性 若 , 则 ; BA(iii) 传递性 若 , , 则 . C数学上把具有上述三条性质的关系称为等价, 例如, 两个线性方程组同解,就称这两个线性方程组等价. 具有可逆性。分析引例中增广矩阵形式，得相应矩阵概念。 3、行阶梯型矩阵、行最简形矩阵1、定义 行阶梯形矩阵：若矩阵满足：在元素不全为零的行中，除去第一个非零元素右边的零元素后(图中虚线右边元素)，剩下的零元素构成阶梯形状，且每阶梯只有一行，则称该矩阵为行阶梯形矩阵。行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵中，若每一行的第一个非零元素都是 1，且和这些元
8、素同列的其他元素都是 0，则称这样的矩阵为行最简形矩阵标准形： , rmnEF此标准型由 三个数完全确定, 其中 就是行阶梯型矩阵中非零行的rnm行数. 例 1、判断下列矩阵是不是行阶梯形矩阵，行最简形矩阵（2）线性方程组的增广矩阵要化为什么形式？行变换 左乘初等矩阵;列变换 右乘初等矩阵例题说明过程，并强调过程，及特点。5说明 ：1) 用数学归纳法可以证明, 任何一个矩阵 , 是可以经有限次初等mnA行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵. 2）一般地, 对 矩阵 , 总可以通过初等变换(行变换和列变换)化mn为下面的标准形: ,0 rmnEF此标准型由 三个数完全确定, 其中 就是行阶梯型矩
9、阵中非零行的rn行数. 所有与 等价的矩阵组成一个集合, 称为一个等价类, 标准型A是这个等价类中最简单的矩阵.F矩阵化为标准形的一般步骤：1. 矩阵通过行初等变换化为行阶梯形矩阵；2. 再通过行初等变换化为行最简形矩阵；3. 再通过列初等变换化为标准形。例 2、 设 把( A E )化为行最简形 0321A解 10 3232049136491023（A E）化为标准形。649108236491032二、初等矩阵的概念1、初等矩阵的概念定义 2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. E三种初等变换对应三种初等矩阵：（1） 、对调两行或对调两列问：怎样将矩阵化为行阶梯形，标准形？
10、6101(,)101ij E （2） 、以数 乘某行(列)0k1()1ikkE （3） 、以数 乘某行(列) 加到另一行(列)k1()1kijkE 分析( A E )变换后矩阵关系。本题安排目的：设疑，本题同学之前求过逆矩阵，提出问题，为什么E经过同样的初等变换化为了逆矩阵。学生思考对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次同类型的初等行变换因此, 初等矩阵可分为 3类第i行第 j行第 列i第 列j第 行i第 列j第 行i第 行j第 列i第 列j72、矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系下面观察用初等矩阵左乘和右乘 与初等变换有何关系. 例如A.1213121330(,3)aaEA
11、由上面可以看出, 用初等矩阵 左乘 , 相当于将 的 行交换,(,)E即对 做相应的初等行变换.1213121323 30()aakakk AE由上面可以看出, 用初等矩阵 右乘 , 相当于将 的第一列乘()kEA数 加到第三列, 即对 做相应的初等列变换.kA性质 1 用初等矩阵左乘 , 相当于对 做相应的初等行变换; 用初等矩阵右乘 , 相当于对 做相应的初等列变换.说明： 容易验证 , 这三种初等矩阵都可逆, 且它们的逆阵也都是初等矩阵; ; . 1(,)(,)ijijE1()()ikiE1()()ijkijkE性质 2 矩阵 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 , 使A12,lPL.1
12、lPL证 先证充分性. 设 , 因为 可逆, 从而12lPL12,l, 0l所以 可逆.再证必要性. 设 阶矩阵 可逆, 它的标准型矩阵为 , 因为nAF, 所以存在初等矩阵 , 使FA12lPL.1slFP因为 及 都可逆, 所以12,lPL,111slsA即 也是可逆矩阵, 故 , 从而有 . FE12lAPL证毕定理 1、 设 ，那么与 为 矩 阵ABmn（1） 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 ，使r m;P结论：（1）初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵；（2）初等矩阵都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵。练习并思考：矩阵的初等行（列）变换与矩阵乘法什么联系？引导学生分析归纳出结论行变
13、换 左乘初等矩阵;列变换 右乘初等矩阵学生思考8（2） 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 ，使cAB nQ;Q（3） 的充分必要条件是 阶可逆矩阵 ,存在 阶可 mPn逆矩阵 ，使 .P推论 方阵 A可逆的充分必要条件是 EAr3、利用初等矩阵求逆矩阵，及解矩阵方程.例 3 设 , , 求线性方程组21312b2105b和 的解.1Axb2分析： 可记 ， ， 不妨记 1x2A12(,)Xx12(,)Bb则两个线性方程组可合成一个矩阵方程 为求 把 (A AB)化成行最简形矩阵 。解略（板书详尽过程） 。例 4 求解矩阵方程 ， 其中 .AX2013A提示：基本思路。解略（学生练习具体初等变换过程） 。讨论 如何求解矩阵方程 ? 其中 可逆 B小结：方案四、小结： 1、矩阵的初等变换；2、矩阵的等价；3、用初等变换把矩阵化成行阶梯形和行阶梯最简形。4、初等矩阵的定义；5、初等矩阵与初等变换的关系；6、利用初等矩阵求可逆矩阵和解矩阵方程。四 、作业： p79 习题三 “相应的”含义应用所学知识解决问题。求解矩阵方程时, 一定要先整理化简, 再求解讨论，学生给出方案。学生发言总结重要内容，方法。
