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1、1课 题第二章 矩阵及其运算2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算教学内容 矩阵的概念；矩阵的运算；教学目标明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；教学重点 掌握矩阵定义及运算法则教学难点 矩阵乘法双语教学内容、安排矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations矩阵的加法：matrix addition数与矩阵相乘：scalar muctiplication转置矩阵：transposd matrix教学手段、措施 讲授课（结合多媒体教学）2.1 矩阵矩阵是线性代数的主要内容之一，是处理许多实际问题的重要数学工具。
2、也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。一 授课内容：矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、三角阵、对角阵、单位阵的概念）矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。二 授课过程与说明1矩阵的概念引入：某工厂要购进4种原料 F1, F2, F3, F4 若知道A1,A2,A3生产这4种原料，到哪买这4种原料呢，对价格进行比较F1 F2 F3 F4A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3行4列表A3 4 7 5 4在实际问题中经常遇到由 个元素构成的数表mn定义1 ： 个元素 排成m 行n列矩形数mn(1,2;1,2)ijaj 表（对教学内容及欲达目的、讲
3、授方法加以说明）组织教学矩阵与行列式的区别？2=121212nnnaa称为一个 矩阵。m一般用大写黑体字母表示：记为A 、B、C。为了表示行和列，也可简记为 或 矩阵中数nijmna(1,2;,)ijaj 称为矩阵的第 行第 列元素。注意：m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。n=1 称为列矩阵或列向量 。12nbBm=1 称为行矩阵或行向量 。12,nAa定义2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵1213423aaA其中 为工
4、厂向第 店发送第 种产品的数量。ijaij这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵123412bB其中 为第 中产品的单价， 为第 种产品单价重量。1ibibj例2 四个航线中的单向航线1 1,0ijija从 市 到 市 有 一 条 单 向 航 线， 从 市 到 市 没 有 单 向 航 线则图可用矩阵表示为矩阵是数表，行列式是数值或代数和；矩阵的行与列不等，但行列式的行与列相等。可行的条件：是同301()ijAa2.2 矩阵的运算矩阵的运算一、 矩阵的加法：定义1：A+ B=（ ） +（ ） = （ + ） ijanmijbnmijaijbnm=12112 212nmmmbaab 两个同行（m行
5、）、同列（n 列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律1、 交换律A+ B= B+ A2、 结合律（A+ B）+C= A+ (B+C) 3、 有零元A+0=A4、 有负元A+(-A)=0 (BA二、 数与矩阵的乘法定义2、给定矩阵A=（ ） 及数k,则称（k ） 为数kijanmijanm与矩阵A的乘积。即kA= k =ij121212nmmkaka由定义可知 A=(-1) AA B = A+(-B)数乘矩阵满足以下的运算律1、结合律：(kl)A=k(l A)=l(kA)2、交换律：kA=Ak3、分配律：k（A+ B）=k
6、A+kB 例1、 设A= B=86429750161237954求满足关系式A+2X=B的矩阵X （3A 2B）三、矩阵的乘法定义3：设A= （ ） B =（ ） 则乘积AB=C=( )ijasmijbnsijcnm= ijcsjijijb21型矩阵，方法是对应位置上的元素相加。其和与原矩阵同型用数乘以 矩阵中的每一个元素数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！定义说明，如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中的第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B 的第j列对应元素乘积的和。并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数4= (i=1,2m;j=1,2n)sk
7、jiba1一般称AB为A左乘B矩阵乘法可行的条件是A的列数与矩阵 B的行数相同。方法：A中的第行与B中的第列对应元素乘积之和例2 设A=（ ） ，B =（ ） ， ijas3ijbl4( ) 且AB=C ，确定s, m , l的值ijc6m例3，设A= B = 求AB 4211023是否可以求BA例4设A= B = 求AB ，B A753A= B = 求 AB12通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的）1， AB=0 A,B不一定为02， AB不等于BA即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可交换3， AB=AC, B不等于C例如设A= B = C= A C =B C 但0410
8、1方阵乘法矩阵的乘法满足以下运算律1， 结合律：(AB)C=A(BC), (kA)B=k(AB)2， 分配律：(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC例5A= E= 求EA 解EA=A32311a10此时AE是否可行？只有当E为 3阶方阵时， 只有单位阵可与任何矩阵可交换矩阵的幂： 1211,()kklklllAA介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵 )1，对角阵n阶方阵 主元之外都是012n称为对角阵，一般它与任意n阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵矩阵的乘法总让我们联想是否满足数的乘法的运算律。怎样定义矩阵的幂？()?kAB什么时候有： k5相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、
9、乘还是对角阵。再进一步特殊化就是 i2、数量矩阵 对于任意常数 ，n阶方阵= 叫数量矩阵。它与任意n阶方阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵B相当于数 乘以矩阵B3,单位阵当 =1时数量阵就是单位阵，即记为E1显然E在矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的是相同的即AE=EA。一般称 n阶的方阵E为单位矩阵。即主元是 1，非主元是零例7：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。n个未知量m个方程的方程组系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵n个未知量m个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形 AX=B AX=0方程组可表示为AX=B.此式为方程组矩阵型。齐次方程组可表为AX=0四，转置矩阵定义4：将m n矩阵A 的行与列互换所得的n m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为A T转置矩阵有如下性质：1 (AT )T=A 2, (A+B)T= TB3. k(4 . )五方阵的幂与方阵的行列式对于幂了解，重点掌握行列式定义5：由n阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA或 。定理21设A , B是同阶方阵则 = 此定理可推广到有限BA小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。记忆定理2-1，转置的性质对角阵、数量阵、单位阵的行列式是多少？（上三角阵，下三角阵，自己定义）67
