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1、1课 题 5.4 对称矩阵的对角化教学内容 实对称阵的对角化教学目标 了解对称矩阵的特征值与特征向量的性质；会求正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵教学重点 实对称阵对角化的具体步骤教学难点 实对称阵对角化的方法双语教学内容、安排 相似矩阵：Similar matrix；对称矩阵：Symmetrical matrix教学手段、措施教 学 过 程 及 教 学 设 计 备注5.4 对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理 1 实对称矩阵的特征值为实数.x 为 对应的特征向量 . 即 于是有的 特 征 值 ，是 实 对 称 矩 阵设证 A .xA,xAxTTxT及两式相减， 因为
2、 x0, ,0)(xT得 ,0T所 以，故 .为 实 数即定理 2 p1, p2 依次是它们对应的特征向量.的 两 个 特 征 值 ，是 实 对 称 矩 阵设 A21,则 p1 与 p2 正交.1若证 由已知有 )(1注解向量可取为实向量.约定：实对称矩阵的特征向量为实向量2)2(2pA左乘（2）式的两端得Tp1以 211)(TT因为 A 是实对称矩阵，所以 )(21ApT21T21)(pT21T于是 .021p即 p1 与 p2 正交.，因 为 1,T故例 1 设实对称矩阵 的特征值 , 属于 的3A3,21,特征向量依次为 , , 求 01p2A解 设 , 由 , 可得 321xp3132
3、p0321x该齐次方程组的一个非零解为 23令 , 10),(321pP 31则有 12011PA二、实对称矩阵的相似对角化定理 3 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使 ， 是以 A A1其 中的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.它们的重数依次为 r1 , r2 , , rm ，的 互 不 相 等 的 特 征 值 为设证 m21, 于是, r1 + r2 + + rm= n . 根据定理 5 及定理 7 知， 恰有 ri 个线i对 应 特 征 值性无关的实特征向量, 把它们正交单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量 , i =1,2， , m .由 r1 + r2 + +
4、 rm= n . 知这样的特征向量恰有 n 个 . 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理 6 )，故这 n 个特征向量构成规范正交向量组 . 以它们为列解题关键：定理 2 的应用3构成矩阵 P , 则为 P 正交矩阵，并有 PA1恰 是 A 的 n 个特征值.,1mrr个个的 对 角 元 素 含其 中 对 角 矩 阵 推论 设 A 为 n 阶对称矩阵, r 重根, 的 特 征 方 程 的是恰有 r 个线性无关的特征向，的 秩则 矩 阵 rnER)(从 而 特 征 值量.为对角矩阵APA121051 ， 使， 求 一 个 正 交 矩 阵设例 的 特 征 多 项 式 为解 210
5、5EA ),5(3)1(.53，故 的 特 征 值时 ，当 1010432x由 ,132x解 得 基 础 解 系 .210p单 位 化 得时 ，当 201032x由 ,132x解 得 基 础 解 系 .2102p单 位 化 得4时 ，当 53031021x由 ,32x解 得 基 础 解 系 .13p单 位 化 得于是得正交矩阵 P = ( p1, p2, p3 ) 0210且使得 .531 APT为对角矩阵 AP112 ， 使， 求 一 个 正 交 矩 阵设例解 A 的特征多项式为 EA1,)3(2.3,021故 得 特 征 值 ,0),21 xEA解 齐 次 线 性 方 程 组 （时当 将其
6、规范正交化.,10,21b解 得 基 础 解 系正交化： 取 ,01q5 12021,12122 bbqT再单位化得 621,01pp,0)33xEA（时 ， 解 齐 次 线 性 方 程 组当 ,1解 得 基 础 解 系 .313p单 位 化 得于是得正交矩阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) 316201且使得 .1 APT用正交阵将实对称矩阵 A 化为对角阵的步骤： ;,)( 21mi 的 所 有 相 异 的 特 征 值求 出 iki ii k,21征 向 量 个 线 性 无 关 的 特求 出 对 应 的重 特 征 值对 每 一 个的 特 征 向 量 。 它 们 仍 为 属 于先
7、正 交 化 再 单 位 化 为特 征 向 量 个 线 性 无 关 的所 对 应 的每 一 个 重 特 征 值用 施 密 特 正 交 化 方 法 将i ikiiki pi ,)( 2121 为 对 角 阵 。此 时即 为 所 求 的 正 交 方 阵 。则方 阵 阶排 成 一 个向 量 作 为 列 向 量将 上 面 求 得 的 正 交 单 位 APPnv T1, ,)(总结解题步骤6三复习思考1 已知 相似于 , 求 和 1320xAyB21x答案 trxyB040)2(deE故 ,yx2设 的一个特征向量为 , 求 的全体2135baA1A特征值与特征向量答案 ： , 103baba20135, 3)()1321005)(行EA对应 只有 1 个线性无关的特征向量2)1(rank全体特征向量为 )(1kx
