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1、在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。、空间直角坐标系的建立xyo. Mxyo. M平面直角坐标系 空间直角坐标系z空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)1 向量的数量积公式（包括向量的夹
2、角公式）:若 与 的夹角为 (0),且 =x1,y1,z1, =x2,y2,z2,则abab =| | |cos 或 = x1x2+y1y2+z1z2b若 与 非零向量 cos = =aba 221211zyx2 向量的数量积的几何性质:两个非零向量 与 垂直的充要条件是 =0abb两个非零向量 与 平行的充要条件是 =| | |a利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；（2）确定关键点的坐标；（3）求空间向量的夹角；（4）得出异面直线的所成角。D1用向量解决角的问题两条异面直线 、 间夹角ab在直线 上取两点 A、B，在直线 上取两点 C、D，若直
3、线 与 的夹角为 ，ab则 。cos|,|CD注意,由于两向量的夹角范围为 ,而异面直线所成角的范围为180，若两向量夹角 为钝角,转化到异面直线夹角时为 18090例 1：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA 1=6,求异面直线 DA1与 AC1的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。问题 1：此题在立体几何中我们应该如何解决？ （异面直线平移相交，求相交直线的交角）问题 2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？（求向量 DA1与 AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）问题 3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。（以 DA 为 X
4、 轴，以 DC 为 Y 轴，以 DD1为 Z 轴）问题 4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？（请学生个别回答）例 2直棱柱 ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为 4 的菱形,且DAB=60，AA 1=6，AC 与 BC交于 E，A 1C1与 B1D1交于 E1， （1）求：DA 1与 AC1的所成角；（2）若 F 是 AE1的中点，求：B 1E 与 FD1的所成角；D CAB直线 与平面 所成的角 （如图 ）a1可转化成用向量 与平面 的法向量 的夹角 表示，由向量平移得：若n时 （图 ） ；若 时 （图 ）.221231平面 的法向量 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成
5、角、求点n到平面距离的必备工具.由 可知，要求得法向量 ，只需在平面 上找出n两个不共线向量 、 ，最后通过解方程组 得到 .ab0ba例 4、 在直三棱柱 中，底面是等腰直角1CBA三角形， ，侧棱 ， 、 分别是90ACB2DE1C与 的中点，点 在平面 上的射影是 的重1EA心 ，求直线 与平面 所成角正弦值.G1例 8.三棱柱 ，平面 平面 ， ，1BAO1OAB601O且 ， ，求：二面角 的余弦值大小.90AOB231x yzA BCC1A1 B1G DEnanana图 12图 11 图 13xyzABOA1B1O1H1HHCBA例 9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD
6、 中，AD/BC， ABC=900，SA面 ABCD，SA= ，A B=BC=1，A D= 。求侧面2121SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值大小。用向量解决距离问题两点 间距离B,|由 可算出； A2若 ，则由数量积得 ， baB baaAB22若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.点 到直线 的距离PA过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，则由 且点 共线BPDABPD,得 ，解出 点后再求 。D,0|例 1、直角坐标系中的三点 ， ， ，求点 到直线3,10A0,B,2C的距离。BC解：过 作 ，垂足为ABCH设 ， 0,23 ，则 点坐标为, H0,23 ，又 ， AH,130
7、 BCA ， ， ，02475 3,7274 A异面直线 、 的距离ab可先设 、 的公垂线段 （ 、 ） ，再由垂直向量性质得EFabAzyxDCBS，从而得到 、 的坐标，最后算出所求 . 0EFbaEF EF例 2、正方体 的边长为 ，求异面直线 、 的距11DCBACA1BD离？分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设 是所求的公垂线，令 、EF BDE，则 、 的坐标为 ， CAkF11 0,1 B0,1同理 ，再由 、 ，算得, D CAF、 ，最后算出 、 .23kE6这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技
8、巧.点 到平面 的距离Ph先设平面 的斜线为 ，再求 的法向量 ，运用向量平移，不PAn难得到推论“ 等于 在法向量 上的射影 的绝对值” ，即 ，h n nPA nPAh最后由此算出所求距离.例 3、正四棱柱 ， ，1DCBA， 是 的中点，求点 到平面 的距离. 21AE1CE分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面 的法向量为 ，BD),(zyxnB CDAB1 C1D1A1yxzEFEA BCDA1 B1C1D1yxz由 ，得 ；令 ，得法向量 0DBnE0yxz1)1,(n 在 上的投影为 ，点 到平面 的距离为 . 1 321 nE1DBE32此类题目，是在立体几何学习中的必须
9、解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。两平行平面 之间的距离,由平行平面间的距离定义知道，平面 上任意一点 A 到 的距离就是 到的距离，因此，我们也可把 到 的距离转化为 A 到 的距离，运用求点与面距离的方法来求。1、(2011 年高考陕西卷理科 16)（本小题满分 12 分）如图：在 ,ABC0中 ,=6,0BAC9，沿 把 折起，D是 上 的 高 D使 （）证明：平面 ；0=9D平 面（）设 。EBCB为 的 中 点 ,求 A与 夹 角 的 余 弦 值2、(2011 年高考北京卷理科 16)（本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面PAC是菱形， 2,60D.AD()求证： B平面 ;AC（）若 ,P求 与 所成角的余弦值；（）当平面 与平面 P垂直时，求 PA的长.3、(2011 年高考全国新课标卷理科 18) (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2 ）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。
