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1、12.1.1 直线的斜率（第 1 课时）江苏省白塔高级中学 王永安一、教材内容分析直线的斜率必修二中第 2 章第一节第一课时的内容，是在第一章研究图形的基础上，又一种新的研究图形性质方法解析法，解析法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形的性质方法是解析几何中最基本的研究方法，本节课体现了这种方法的具体特征，是实现向解析法过渡的最好案例，它为今后如何用解析法研究几何问题奠定了基础。本节课在两点确定一条直线的基 础上探讨了确定直线的另一种方法，即利用直线上一点和倾斜角能确定一条直线，并利用代数方法表示了确定直线几何要素倾斜角和斜率，然后进一步利用倾斜角和斜率研究直线
2、的位置状态以及直线间的关系。本节课是在学生学习了函数，对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下，解析几何的第一节课，教师应向学生展示在平面直角坐标系下，数和形的关系，从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题，为今后的学习奠定基础。建议在教学过程中从学生熟悉的一次函数的图象着手，导出解析几何这门学科，从解析几何的研究方法和平面内确定一条直线的条件，启发学生探索和发现刻画直线倾斜程度的量。本节课的重点是直线的斜率，由两点确定一条直线联想能否用两点的坐标来表示，结合学生熟悉的坡度的定义，揭示如何用两点的坐标表示，以及表示的合理性。对直线斜率公式的应用，要注意公式成立的条件和公式的正用、逆用，特别要
3、说明斜率不存在时，直线存在（让学生体验此时直线的位置，以加深印象） ，在逆用时强调斜率是一比值，由它能知道直线在坐标系中的位置（体现数和形的结合，让学生利用图象发现并归纳） ，若再有一点即知直线上另一点的坐标（启发学生利用斜率公式进行求解，提醒注意不唯一） 。二、教学目标：1、知识与技能（1）理解直线的斜率的概念。（2）掌握过两点的直线的斜率公式。（3）理解直线斜率的存在条件。2、过程与方法通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，得到研究直线倾斜程度的量斜率。通过师生探讨，得出直线的斜率公式，并以此为基础理解直线斜率的存在性；学生通过实践，运用所学知识解决有关问题。3、情感态度与价值观通过斜率概念
4、的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求实的数学精神。三、教学重点、难点：（1）重点：直线的斜率的概念；斜率公式的推导与运用。（2）难点：直线斜率的存在性；斜率的符号与直线倾斜方向的关系。四、教学用具：计算机 、投影 。2五、教学方法：启发引导、合作探究 、讨论点评。六、教学过程：（一）新课导入：师：这节课，我们开始学习“平面解析几何初步” ，著名的数学家、天文学家拉格朗日说过：“如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限。但若两者相互结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完美化
5、的方向猛进。 ”而解析几何这门学科正是由代数和几何相互结合而成的典型学科。师：如何通过方程来研究曲线的性质是解析几何这门学科要解决的主要问题。那么，在我们的现实世界中，同学们说说都有哪些关于曲线的例子呢？ 生：彩虹，流星轨迹，拱桥师：我们一起来看看以下的图片（教师展示图片，并让学生了解方程在研究行星轨道、桥梁设计等方面的作用。 ）师：在几何中，最基本、最常见的图形是什么？生：直线！师：过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线，如何用数学语言刻画直线的方向，进而建立直线的方程？（引导学生思考本课的关键问题）学生动手实践：过一点作直线。师：两点可以确定一条直线。而过一点可作无数条直线，它们的不同之处
6、在哪里？生：倾斜程度！师：对！确定直线位置的要素除了点之外，还有直线的倾斜程度。通过建立直角坐标系，点可以用坐标来刻画。那么，直线的倾斜程度如何来刻画呢？（进一步引导学生思考本课的关键问题）师：楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画。 如果台阶的宽度不变，那么高 度坡 度 =宽 度每一级台阶的高度越大，坡度就越大，楼梯就越陡。 （结合学生的已有的知识和经验，给出“坡度”这一熟悉的概念，为类比“斜率”的概念作铺垫） 高 度坡 度 =宽 度3宽度高度（二）新课教学：1、引导学生通过类比的方法得出斜率公式，并提出问题：如果 ，那么直线斜率是否12x=存在？师：在平面直角坐标系中，我们可以采取类似的方法来
7、刻画直线的倾斜程度。Oyx1,Px2,Qy12y211212yx直 线 PQ的 斜 率 为 ： k= xOy 1,yPx12,Q2y112如 果 x=，那 么 直 线 PQ的 斜 率 不 存 在师：对于与 x 轴不垂直的直线，它的斜率是一个定值，并且也可以看做是： 1 212yxA纵 坐 标 的 增 量k= 横 坐 标 的 增 量师：请思考这个式子是否正确？ 211yx直 线 的 斜 率 k= 生：由分式运算可知这个式子正确！说明 斜 率 公 式 与 P， Q两 点 的 顺 序 无 关 ！同时，通过学生动手实践和几何画板课件的演示，进一步说明斜率公式与 P，Q 两点的具体位置无关！2、课本例
8、1 的教学41231231231 ,(,),(,)(4,)(,2)lPlQQ 例 如 图 ， 直 线 ， 都 经 过 点 ， 又 ， 分 别 经 过 点 ， ， 试 计 算 ， 的 斜 率 。 12312323, ,540kl解 ： 设 ， 分 别 表 示 直 线 ， 的 斜 率 ，则 ，k，（该例题由学生板演，教师点评）师：斜率的符号与直线的倾斜方向有怎样的关系？生： 1(1) l当 直 线 的 斜 率 为 正 时 ， 直 线 从 左 下 方 向 右 上 方 倾 斜 （ ） ；22当 直 线 的 斜 率 为 负 时 ， 直 线 从 左 上 方 向 右 下 方 倾 斜 （ ） ；3(3) .l
9、当 直 线 的 斜 率 为 0时 ， 直 线 与 x轴 平 行 或 重 合 （ ）（教师通过几何画板课件演示，进一步体验斜率的符号与直线的倾斜方向的关系。 ）（相关练习）练习 1：.4,52,1213练 习 题 分 别 求 经 过 下 列 两 点 的 直 线 的 斜 率 ， 并 判 断 直 线 的 倾 斜 方 向 。（ 1） ,3； （ ） -, （ ） - ； （ ）解：（1） 4k； 直 线 从 左 下 方 向 右 上 方 倾 斜 .（2） 31(2)； 直 线 从 左 上 方 向 右 下 方 倾 斜 .（3） 0x()k； 直 线 与 轴 平 行 .（4） 3(1)； 直 线 从 左 上
10、 方 向 右 下 方 倾 斜 .（本题先由学生思考、讨论、尝试，然后由教师分别提问 4 位学生。教师对学生的回答给予点评。 ）xyo4453P1l32l1Q2353、课本例 2 的教学师：通过刚才的探讨和实践，我们知道过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线，而斜率是表达直线倾斜方向的量。那么，由给定的一点和斜率，我们怎样把 直线画出来呢？下面，我们一起来看下面的这道例题。 .例 经 过 点 （ 3， ） 画 直 线 ， 使 直 线 的 斜 率 分 别 为 ：4 （ 1） ； （ 2） - 45（本题本题先由学生思考、讨论、尝试，然后由师生互动，结合学生的动手实践和几何画板课件演示共同解决问题。
11、 ）师：对于这样的问题，还有其他的画直线的方法吗？（引导学生思考通过给定的一点和斜率找直线上另外一点的其他方法。 ）生：有！根据 ，可以往“另一个方向”找1 212yxxA纵 坐 标 的 增 量 yk= 横 坐 标 的 增 量点。师：好！我们现在用第二种方式解决这个问题。 （师生互动，结合几何画板课件演示，再次完成画直线的过程。 ）教师小结如何通过给定的一点和斜率画直线的原理和方法：根据斜率的意义，只要对给定的已知点进行恰当的水平方向和垂直方向的平移便可找到直线上的另一点，从而把直线画出来。（相关练习）练习 2：. Pk练 习 题 根 据 下 列 条 件 ， 分 别 画 出 经 过 点 ， 且
12、 斜 率 为 的 直 线 。（ 1） P(-,3)， k=0；（ 2） ， 斜 率 不 存 在 .（该题先由学生合作探究，然后分别由两位学生说出各自的思路后上台板演。教师点评，并对关键之处与学生互动，然后进行强调。 ）师：这道题目一方面可以在例 2 的基础之上对给定一点和斜率画直线的问题进行巩固，另一方面又使我们进一步体验了当斜率为 0 或不存在时这两种特殊情况的直线的画法。那么，直线的斜率除了可以用来确定直线的倾斜方向，还有其他方面的应用吗？我来看以下的一道思考题。 1.2思 考 题判 断 (0,)2,5(3,7)三 点 是 否 在 同 一 直 线 上 .判 断 -41-三 点 能 否 构
13、成 一 个 三 角 形（该题可作为本节课与下节课的衔接。如果时间允许，则在课堂解决；如果时间较紧，则由教师给出提示，由学生课后完成。 ）（三）回顾小结：（师生互动，对本课进行小结）1.通 过 建 立 直 角 坐 标 系 ， 直 线 的 倾 斜 程 度 可 以 用 斜 率 来 刻 画 ；61212yx2.斜 率 公 式 为 ： k= ；3.当 直 线 垂 直 于 轴 时 ， 斜 率 不 存 在 ；4通 过 直 线 斜 率 的 符 号 可 以 判 断 直 线 的 倾 斜 方 向 。（四）课后作业：课 本 第 70页 练 习 第 2， 3题 .七、教学反思：上述围绕教学目标对本节课的教学设计进行了阐述。本节课着眼于师生共同探索研究，以问题为中心层层推进，在推进中结合对图形的直观观察，利用多媒体辅助，更形象，老师以组织者和引导者的角色出现在各个环节中，既放手让学生动手操作，讨论，合作研究，板演，又组织学生深入探索，找到了合理的问题解决方法。整个教学过程会充满活跃，积极，有激情的探索气氛。充分体现学生主体地位，并且让学生了解怎样才能学会知识，让学生既获得了知识，又学会了应用知识，而且让学生一节课下来轻松，愉快又有成就感，让他们充满创新的动力和欲望。八、板书设计:
