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1、资资 源源 信信 息息 表表标标 题题 : 11.2 直直 线线 的的 倾倾 斜角和斜率斜角和斜率关关 键词键词 : 直直 线线 、倾倾 斜角、斜率描描 述述 :教学目教学目 标标理解理解 倾倾 斜角与斜率的概念斜角与斜率的概念 ; 建立建立 倾倾 斜角、斜率与直率与直 线线 方向向量、法向量的关系；方向向量、法向量的关系； 认识认识 事物事物 间间联联 系的本系的本 质质 ，体会用 联联 系的系的 观观 点看点看 问题问题 .教学重点与教学重点与 难难 点点直直 线线 的的 倾倾 斜角、斜率的概念；已知已知 倾倾 斜角、斜率、方向向量中的一个，求其斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个它两
2、个 .学学 科科 : 高二年高二年 级级 数学第数学第二册二册 11.2 语语 种种 : 汉语汉语媒体格式媒体格式 : 教学教学 设计设计 .doc 学学 习习 者者 : 学生学生资资 源源 类类 型型 : 文本文本 类类 素材素材 教育教育 类类型型 : 高中教育高中教育 高中二高中二年年 级级作作 者者 : 单单 位位 :地地 址址 :Email:11.2 直线的倾斜角和斜率 一、教学内容分析本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念.引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和 轴间的相对位置关系，是由于进一步研x究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们
3、与三角函数知识的联系.本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个.二、教学目标设计理解倾斜角与斜率的概念; 建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题.三、教学重点及难点直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系；已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个.四、教学用具准备投影仪，ppt 演示五、教学流程设计课堂小结并布置作业相互关系倾斜角、斜率、方向向量、法向量的相互联系六、教学过程设计 一、复习引入第一节中，我们学习了一次方程 是0(,)axbyca不 全
4、 为直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲线.任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们构成的角就可以算出.我们取 轴作为第x三条直线，考虑任意直线与 轴构成的角.x二、讲授新课1、概念引入概念符号复习引入倾斜角斜率运用与深化(例题解析、巩固练习)xy2O 什么是倾斜角？给出一些与 轴相交的直线（如 ） ，学x1,1yxx生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念.若直线 与 轴相交于点 ，将 轴绕点 逆时针方向旋lxMx转至与直线 重合时所成的最小正角 叫做直线 的倾斜角.l那么 的
5、倾斜角怎么规定呢？当直线 与 轴平行或重3y x合（即 与 轴垂直）时，规定其倾斜角 .l 0根据定义，直线的倾斜角 的取值范围是 .特别地，,)与 轴垂直时， .lx2 什么是斜率当 时，记 的正切值为 ，把 叫做直线 的斜ktanl率；当 时，直线 的斜率 不存在.2l2、概念深化 随着倾斜角 在 内的取值0,)逐渐增大，斜率的值如何变化呢？当 时，斜率 存在，作2tank出 在 的图像，正切tany0,)(,)函数 在区间 为单调增，在2区间 内也是单调增，但在 内，却不具有单调(,)20,)(,)2性.得到以下结论：(1)02随着倾斜角 的不断增大，直线斜率不断增大， .0,)k(2)
6、 随着倾斜角 的不断增大，直线的斜率不断增大，.(,0)k反之， ,(0,);,0;,(,).22kkk时 时 时 直线 的倾斜角 、斜率 、方向向量 之间有什么关系？l d已知其中一个可以求其它两个吗？（1）已知倾斜角 当 时， ；当 时，斜率 不存在.2tank2k方向向量 .特别地，当 时，显(cos,i),0drr 2然 ，则 也是直线的一个方向向量.cos0r (1k（2）已知斜率 （ ）k2当 时，由 ，故倾斜角 ；当 时，k0,)arctnk0由 ，故 .(,)2arctnk由于 ，直线的一个方向向量 .(1,)dk（3）已知一个方向向量 (,)duv当 时，直线垂直 轴， 不存
7、在， ；当 时，0uxk20u也是一个方向向量，而 存在，再由上面的分析知(1,)vd也是方向向量，故 （这个结论也可以从几何角度研究kvku得到） ；倾斜角的研究要根据 的符号讨论（请学生课后自行完成）.思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成）3、例题解析例 1已知直线 上两点 ，求直线 的倾斜角 和斜率 .l,ABlk（1） ；(,3)5,1)AB（2） ；（3） .(0,),)说明本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握.一般，当 时，过两点 的直线的斜率12x12(,)(,)AxyB；当 时，直线斜率不存在.21yk解：（1）直线的一个方向向量为 ，故 ，(4,)
8、d41k；3arctn()4（2）直线的一个方向向量为 ，故 不存在，(0,3)dABk；1（3）直线的一个方向向量为 ，故 ，(1,)01k；0思考：已知直线 过两点 ，直线 的倾斜角 和斜l(,0),AaBbl率 是什么？k例 2 （1）已知直线斜率 ，求倾斜角 及一个方向向量；2k（2）已知直线 的一个方向向量为 ，求直线 的倾斜l (3,)dl角和斜率.说明本题考察直线倾斜角、斜率、方向向量之间的关系.解：（1） ,故 为钝角， ；20karctn(2)arctn2直线的一个方向向量 ；(1,),2dk（2） ， .30karctnarctn(3)注意：通过 求 时，要先判断 的符号，
9、若 为k0,karctnk锐角；若 为钝角；若 .0,karctn,例 3. 已知 ，当 取何值时，直线 的(23,)(2,1)MmNmMN倾斜角为锐角、直角、钝角？说明本题主要涉及倾斜角和斜率的关系.解：若直线 的倾斜角为锐角，则MN，故 或 ；若直线12110(3)(2)5ymkx5m1的倾斜角为直角，则 不存在，故 ；若直线k的倾斜角为钝角，则 ，故 .MN1051思考： 时，直线 的倾斜角为何值？1mMN例 4. 求直线 的倾斜角的范围sin1yxA说明本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.解：设倾斜角为 ，由题意知斜率 ；sin1,k当 时， 为钝角， ，由1,0)karct，arct
10、n4得 ；3rta,)k当 时， 为锐角，得 ；(0,1arctn(0,4k当 时， ；k综上所述，倾斜角的取值范围是 .3,)说明上题的 不是倾斜角.解题时需注意当 的符号不同时须k分开讨论，因为 ，倾斜角为锐角； ，倾斜角为钝角.0k0思考：若已知倾斜角 ，斜率 的取值范围是什么？2,43k例 5已知 ，若直线 的倾斜角是直线 的倾(1,5)(,)MNlMN斜角的一半，求直线 的斜率.l说明 本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用.解：设直线 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 .由lMN2得 .由已知20,),)2，即 .2(53tan3tan,1)44MNk2tan8t30解得 ，由 得 ，故
11、 ，直线 的t或 0,)t01tl斜率为 .3说明倾斜角的范围 是一个隐含的条件，由它得到的20,)是一个舍解的条件.0,)2例 6已知 ，直线 过 点且与线段(3,1)(5,31)PMNlP相交，求：MN（1） 直线 的斜率 的取值范围；lk（2） 直线 的倾斜角 的范围.说明 本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用.解：（1） ；1()3,(,31,)532PMPNkkk故（2）当 时，倾斜角 ；当 时，(,k(,231,)k；又 也符合题意，综上， .,)4224说明先画出图形，在学习解析几何时要多注意数形结合.三、巩固练习1. 已知直线的倾斜角为 ，且 ，则直线的斜率为3cos5
12、._2. 经过点 两点的直线的斜率是_,倾斜(2,0)(5,3AB角是_ .3. 下列命题中正确的是_（1） 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；（2） 若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；（3） 若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率也大；（4） 若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大.4. 过 的直线的倾斜角为钝角，则实数 的取(1,)(3,2)AaBa a值范围是_.5. 直线 的倾斜角的取值范围是cos80()xyR_.6. 过 的直线 与 轴的正半轴没有公共点，求直线(1,3)Ply的倾斜角的范围.l7. 直线 的倾斜角大小为 ， 与 轴交于
13、点 ，将l20xylyP绕 逆时针旋转 角得直线 ，求 的方程.Pl说明相关的例题和练习请教师根据学生的实际选用.四、课堂小结1. 倾斜角与斜率的概念；2斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的相互联系.五、课后作业书面作业： 习题 11 .2A 组 1-10，B 组 1-3七、教学设计说明1分类讨论的思想在这节里，斜率 和倾斜角 的以下关系经常被用到：k为锐角； 为钝角； 不存在 ，0k0k2.已知 ，若 ， ；若 ，斜率不存2tan在.已知 ，就要根据 的符号来分类求 .kk2数形结合的思想解析几何是用代数方法研究几何问题的，所以数形结合的思想非常重要.本节中倾斜角、斜率都有其几何意义，结合图形会使问题更直观，易于理解和解决.这种思想在以后的各节也有很多应用.
