直线与圆的一组切线问题的再研究和对圆的包络问题的认识

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1、数学研究性学习案例与反思 直线与圆的一组切线问题的再研究和对圆的包络问题的认识在平面解析几何中，有这样一道经典习题：已知圆方程为 ，求过圆上一点 的圆22ryx),(0yxP的切线方程。本题一直倍受高中数学教师的亲睐，一来可以通过一题多解有效的提升学生的数学思维品质，二来可以通过对各种解题方法的比较来体会向量法在研究中学数学中的工具性作用。笔者去年任教高二时也已和学生一起探究过这个问题，但笔者始终坚持一个观点：如果第二次上同样的内容一定要上出新意来，一定要让学生有新的收获。在经过自己的独立思考和教研组的集体磨课后，在全校开设了一节高三数学研究性学习的复习课，得到了教研组和学生的一致好评和认可。

2、现将本课的课堂教学实录与同行交流探讨。1 课堂实录师：今天我们一起来研究一个问题，这个问题大家都很熟悉：已知圆方程为 ，求过圆上22ryx一点 的圆的切线方程，有一个要求，先从基本方法入手研究，而后再思考有没有其他解法。),(0yxP生 1：研究圆的切线问题的基本方法是斜率法。师：运用斜率法研究解析几何问题需要注意什么？生 1：考虑斜率是否存在。师：很好，请你上黑板板书。生 1 板书内容：（i）当 时， ， ，则切线方程为： ，变形可得：0,0yx0xykop0yxol)(00xy；20ro（ii）当 时，此时 ，当 时，此时切线方程为 ，满足xry0ry0 ry0 20ryxo当 时，此时切

3、线方程为 ，也满足方程 ；ry0 2xo同理可知：当 时，切线方程也满足0 20ryxo所以切线方程为 20ryxo师：生 1 给出了很规范的解答过程，值得大家学习。生 1 利用了在圆上一点的切线的一个重要性质，利用性质解决了这个问题，其他同学有没有其他处理手段？生 2：可以利用直线与圆相切的代数方法研究。当直线斜率存在时，设直线方程为 )(00xky而后将直线方程与圆方程联立成方程组，消元转化为 的一元二次方程，利用 可求出切线斜率为x，下面的步骤和生 1 一样。0yxkol生 3：还可以考虑直线与圆相切的几何方法，当直线斜率存在时，设直线方程为 )(00xky根据点到直线距离等于半径，也可

4、以求出 ，以下和生 1 一样。0yxkol师：很好！同学们对基本方法掌握的还是相当娴熟，好，接着请大家思考其他方法。生 4：可以利用向量法研究。设切线上任意一点坐标为 ，仍然利用过圆上一点的切下的重要性),(yxQ质可得 ，坐标运算后马上就能得到切线方程 。0PO 20ro师：很好！通过两种方法的比较，大家可以体会向量法作为一个工具在高中数学中起着举足轻重的作用，用向量法研究垂直关系有其独特的优越性，可以避免对斜率的分类讨论，从而大大简化计算和推导过程。事实上我们有很多结论是利用向量法得到的，能否再举出几例？生 5：正、余弦定理、射影定理。生 6：两角和与差的余弦公式。师：（追问生 6）具体是

5、怎么推导的？能否补充说明？生 6 迟疑片刻，生 7：向量的数量积分别从定义和坐标运算两个角度建立等量关系，是算两次的思想。师：不错，看来同学们的数学素养还是很高的！好，我们再转换一个思路和视角，能否从切线的定义和生成方式出发给出本题的新解法？思考一下切线是如何生成的？切线斜率是如何生成的？生 4：用割线逼近切线的方法生成的切线，切线斜率也是通过割线斜率逼近得到的。师：生 4，你上黑板尝试一下。生 4 板书内容：设曲线上有异于 的一点 ，则割线 的斜率为 ，当P),(1yxQPQ10xykPQ，01y时，此时 （生 4 写到此处不知道如何接着处理）01x10xykPQ师：既然这个极限不好研究，能

6、不能换个方法表示这条割线的斜率，回想在解析几何中已知弦与圆锥曲线的两个交点坐标还可以怎么求弦的斜率？生 4 恍然大悟：由点差法， ，相减可得：2021ryx，)()(1010101 yxx所以 ，当 ， 时， （010xykPQ01y01x 0010 yxyxxykPQ） ，0切线方程为 ，当 时检验可知切线方程也满足 。20ryxo0 20ryxo师：不错！也许在大家看来定义法求切线没有向量法优越，老师引入定义法求切线主要是基于三点考虑：第一，数学解题有时候真会走入“穷途末路” ，什么技巧、什么方法都行不通，那么这个时候我们不妨回到问题的起点，回归问题的本源，返璞归真，往往会找到解决问题的方

7、法；第二，在运算过程中如果直接用两点表示割线斜率我们发现不容易求极限值，这里利用点差法将斜率换了一种形式表示；第三，运算过程始终抓住江苏省高考解析几何提出的“整体运算”的思想和方法。如果把问题的圆变的特殊一点，圆心不在坐标原点，结论如何呢？问题变为：已知圆方程为 ，求过圆上一点22)()(rbyax的圆的切线方程。),(0yxP生 8：利用向量法很容易得到结论 。200 )(-)(- ryxa师：如果把圆的方程变成一般式方程，问题变成：已知圆方程为 ，求过圆0FEyDx上一点 的圆的切线方程，又该如何解决？),(0yxP生 9：可以利用化归思想，先将圆的一般式方程化为标准方程，然后利用结论直接

8、获得，我求出来是 4)2()2( 200 FEDyEDx 师：给定的圆的方程是一般形式的，能否将所求切线方程也变成一般式？生 9：化简后可得 02000 yxyx师：很好，生 9 在研究过程中运用了化归的数学思想方法，化归是高中数学中的重要数学思想方法，在江苏高考中也是偶有考察，比如经典的 2011 年高考 19 题新定义了一个单调性一致的导数问题，第一问我们将 当成是两个因式单独处理，由第一题的解题思路可获得从事新的实践活动的重要启示：f )(xgf(x) ， g (x)只要能确定一个因式的符号，那么整个问题的讨论就可简化，第二问如果能利用第一问的研究方法，可以达到理想的简化效果。大家能否从

9、我们研究的三个结论中得到这组结论的一种生成方式？在切线方程的构造上有没有共同特点？生 10：好像是把 拆成了 ，把一个 换成了切点的横坐标 ， 拆成了 ，2xx 0x2)(a)(ax把其中一个 换成了 ， 拆成了 ，然后把一个 换成了aa0x师：（引导学生从三个结论的构造形式上思考）非常好！其实在结论的记忆过程中体现了一种等分的思想。那么能否根据我们的观察研究，直接写出下面几个问题的结果呢？：椭圆方程为 ，则过椭圆上一点 的椭圆的切线方程为_12byax ),(0yxP练习 2：双曲线方程为 ，则过双曲线上一点 的双曲线的切线方程为_2),(0练习 3：抛物线方程为 ，则过抛物线一点 的抛物线

10、的切线方程为_)0(pxy ,0yxP生 11： ； ；120bax12bya)(00p师：能否利用切线的定义验证 的结论？生 12 板书：设椭圆上有异于点 的一点 ，由点差法， ，相减可得：P),(1yxQ21220rbyax，变形可得： ，当 ，0)()(2101021010 byyaxx 01210yxxkPQ01y时， （ ） ，此时过椭圆上任意一点010201210 yxabyxaxkPQ 的切线方程为 ，等价于 ，变形可得),(0yx )(020by 0202ax。120ba且当 时检验可知切线方程也满足 。0y 120byax师：再次感受整体运算思想在解析几何中的运用。刚才我们研

11、究了一系列点在圆上的切线问题，如果现在点在圆外，这样的问题怎么来处理呢？已知圆方程为 ，则过圆外一点 作圆的两22ryx),(0yxP条切线，切点分别是 ，试利用两种方法求出相交弦直线的方程？BA,生 7：可以用常规处理方法，易知 四点共以 为直径的圆上，圆方程用直径式方程形式表BOAP,P示为 ，两圆方程相减后得： 。0)-()-(0yx 20ryxo师：这是我们之前研究过的一类方法，那能不能利用我们刚才研究过的系列结论研究这个问题？生 8：设切线坐标为 ， ，经过点 的圆的切线方程为 ，经过点 的),(1xA),(2yBA21ryxB圆的切线方程为 ，因为两切线交于点 ，所以 ，可知有序数

12、对22ryQ2021ryx，),(1yxA是方程 的两组实数解，所以所求相交弦直线的方程为 。2B20ryxo 20ryxo师：可见，这个结论和已知在圆上点 的切线方程结论是吻合的。到底是偶然、巧合呢还是必),(0yxP然呢？如果是必然，能否给出一种较为合理的解释？生 13：当点 不断向圆靠近，此时点 三点不断靠近为同一点，临界位置时三点重合，此时点PBA,在圆上，并且相交弦 变成了过 点的切线，所以结论是吻合的。ABP师：生 13 从运动和极限的观点给出了一种合理的解释，非常好！最后我们再来研究一个问题，还是回到引例中，已知圆方程为 ，圆上一点 的参数方程形式是什么？结论中的切线方程还22r

13、yx),(0yx可以怎么表示？生 4： （ ） ，切线方程还可以表示为)sin,co(rP,0ryxsinco师：请大家继续思考：当 时，此时集合 表示什么图形？2yxis),(生 14：表示所有切线构成的集合师：很好！（一边表扬一边用几何画板演示）可见过圆上的任意点作圆的切线构成的集合可以把整个圆包络在里面，我们把直线 称为是 的包络线。请大家继续探究三个问题：ryxsinco22ryx（1）如果把圆的圆心一到异于原点的一点，包络线方程怎么求？（2）如果把圆变成椭圆，椭圆 的包络线方程怎么求？12ba生 15：先求出切线方程 ，然后用圆的参数方程表示圆上的点，化200 )(-)(- rbyx

14、简后得包络线方程为 。rysin)(cos生 16：和生 15 一样的思路，化简后得 。1sincobyax师：最后我们一起来看江西的一道高考试题：（09 江西高考文理）设直线系 ,下列命题：:cs(2)si(02)Mxy 中所有直线均经过一个定点； 存在定点 不在 中的任一条直线上MPM 对于任意整数 ，存在正 边形,其所有边均在 中的直线上(3)nn 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 存在一个圆与所有直线相交； 存在一个圆与所有直线不相交； 存在一个圆与所有直线相切； 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）生 17：我选择 2,3,5,6,7师：很好！同学们，我们今天从一道解析几

15、何中的典型问题出发，通过层层研究，得到了一系列新成果！所以在高三复习中我们坚持以数学基本知识和基本数学思想方法为抓手，与此同时对题目要多加研究，以研究性学习为载体逐步提升大家的思维品质，必然可以提高复习课的效率。2 课后反思2.1 数学教师应当善于开发研究性学习的课程资源随着数学新课程改革的不断推进，研究性学习已成为学生学习的主要方式，研究型教学也已成为中学数学课堂的主旋律。研究型教学不仅有助于发挥学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣，还能使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，让学生经历数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。所以数学教师应当善于开发研究性学习的课程资源，一来这有助于数学教师的专业成长，二来在自身发展的同时还可以有效的促进学生的思维能力的发展和思维品质的锤炼。对于高三学生来说尤为重要。2.2 实施研究性学习的三个生长点2.2.1 以学生的错误作为数学探究题的生长点。当学生遇到错误时，不能只是一味的批评，而是要想办法换个角度去促进学生的理解，采用探究形式，不仅能让学生熟记基本公式，还能拓展学生的数学思维，有利于学生数学能力的培养。我们要善于应用学生的错题资源，让学生的错题成为探究题的生长点。2.2.2 以教材例习题作为数学探