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1、用心 爱心 专心 117 号编辑 1第三章 数列教案一、数列的概念1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第 n 项 an与 n 之间的函数关系用一个公式来表示。 （通项公式不唯一）3、数列的表示:(1)列举法:如 1,3,5,7,9;(2)图解法:由(n,a n)点构成;(3)解析法:用通项公式表示,如 an=2n+1(4)递推法:用前 n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如 a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列a n的前 n 项和的性质Sn= a1+ a2+
2、a3+ + an 21nSn6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性1na1na二、数列通项的求法1、 由等差，等比定义，写出通项公式2、 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推 ,我们通常将其化为 看成b n的等比数列qp1 Aapann14、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含 an与 Sn的题，进行熟练转化为同一种解题三、等 差 数 列1定义： )()1 Nndn常 数2通项： ，推广：a( dmna)(3前 n 项的和： Snn 212)114中项：若 a、b、c 等差数列，则 b
3、为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c5性质: nmdnm,1 qpmnmqp aqpaaqp 2,2,2 则若则若在 等 差 数 列 中用心 爱心 专心 117 号编辑 2., ,32121dp baqpadba nnn 且 公 差 分 别 为列 也 为 等 差 数则 数 列且 公 差 分 别 为均 为 等 差 数 列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 an,an+m,an+2m,为等差数列，公差为 md。(5)等差数列的前 n 项和也构成一个等差数列，即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为 2n，则有 。1,n
4、adS偶奇奇偶（7）等差数列的项数为奇数 n，则 ， 。偶奇中 间 项偶奇 且 Sn1n偶奇（8） 为等差数列， 。nannaS121（9）通项公式是 an=An+B 是一次函数的形式；前 n 项和公式 是0A 02ABSn不含常数项的二次函数的形式。 （注当 d=0 时，S n=na1, a n=a1）（10）若 a10，d0，S n有最小值，可由不等式组 来确定。1na6等差数列的判定方法(1)定义法: (2)中项法:)()1 Nndn常 数 212nna(3)通项法: (4)前 n 项和法:a( BAS7知三求二( ),要求选用公式要恰当.nS,13设元技巧: 三数: 四数d dada3
5、,3四、等 比 数 列1定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列. )(为 不 等 于 零 的 常 数qan2通项公式： ,推广形式: ,变式1namnnqa),(Nnmamn用心 爱心 专心 117 号编辑 33前 n 项和： )10(1)(1 qaqanSnn且注 :应 用 前 n 项 和 公 式 时 ,一 定 要 区 分 的 两 种 不 同 情 况 ,必 要 的 时 候 要 分 类 讨 论 .与4 等 比 中 项 :若 a、 b、 c 成 等 比 数 列 ,则 b 是 a、 c 的 等 比 中 项 ,且 acb5 等 比 数 列 性 质 : nmnm
6、q,1。qpmnmqp aqpaap 2,2,2 则若则若在 等 比 数 列 中.,1, ,1)0(,3 bba nnnn且 公 差 分 别 为也 为 等 比 数 列 则 数 列且 公 分 别 为均 为 等 比 数 列若 （4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an,an+m,an+2m,为等比数列，公比为 qm。(5)等比数列的前 n 项和也构成一个等比数列，即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等比数列，公比为qn。6 证 明 数 列 为 等 比 数 列 的 方 法 :(1)定 义 法 :若 为 等 比 数 列数 列 nn aNqa)(1(2)等 比 中 项 法 :
7、若 为 等 比 数 列数 列且 nnn a )0(21221(3)通 项 法 :若 为 等 比 数 列数 列的 常 数均 是 不 为n N，qc0,(4)前 n 项 和 法 :若 为 等 比 数 列数 列且为 常 数 nn qAS ),(7 解 决 等 比 数 列 有 关 问 题 的 常 见 思 维 方 法(1)方 程 的 思 想 (“知 三 求 二 ”问 题 )(2)分 类 的 思 想 运 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 时 ,需 要 对 讨 论1q和 当 (为 递 增 数 列等 比 数 列时或 naaqa,01,01 )(nn 为 递 减 数 列等 比 数 列时或 nq,1,11用心 爱心 专心 117 号编辑 4六数列的求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论dnanSn2)1(2)(11)1(1qanSn2错位相减法求和：如： ., 21的 和求等 比等 差 nnn bab3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4合并求和：如：求 的和。222978105裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 1)(nn)12()2(n)(1)(1)(nn6公式法求和 622233)(17倒序相加法求和8其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
