《乒乓球团体赛上场队员排序问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《乒乓球团体赛上场队员排序问题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012 年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛题目：乒乓球团体赛上场队员排序问题一、 问题重述：比赛规则：每支队伍有三名队员参赛。比赛之前，双方应抽签决定 A、 B、 C和 X、 Y、 Z 的选择， 并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单， 分别代表各队的出场顺序。比赛顺序：第一场 A X，第二场 B Y，第三场 C Z，第四场 A Y，第五场B X。 每场比赛为三局两胜制。 当一个队已经赢得三场个人比赛时， 该次比赛应结束。现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是： A1、 A2、 A3， 乙队挑选出的三名比赛队员分别是： B1、 B2、 B3，根据以往的历史资料，甲队与乙队比赛，
2、甲队运动员在每一局中获胜的概率如表 B.1 所示表 B.1：两队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率队员 B1 B2 B3 A1 0.50 0.55 0.60 A2 0.45 0.50 0.55 A3 0.40 0.45 0.50 此题是以 “五局三胜制” 进行乒乓球赛事， 虽然两队实力相当， 但不同的出场顺序可能导致不同的结果， 所以合理的安排是取得成功的关键， 不同的出场方案会有不同的结果， 若站在某队的角度， 应采取那种出场方案， 对 “五局三胜制” 进行的乒乓球赛事进行评价。 通过建立数学模型， 求解出安排上场运动员次序的方案，使得本队获胜的概率最大。二、模型建立与求解设甲队三名队员分
3、别为 A1、 A2、 A3， 乙队三名队员分别为 B1、 B2、 B3， Pij 为一局比赛中甲队 Ai 选手赢乙队 Bj 选手的概率， Qij 为 Ai 选手赢乙队 Bj 选手的概率。由题目所给的概率表可以列出 Pij 的矩阵为Pij =0.50 0.55 0.60.45 0.50 0.550.40 0.45 0.50因为两个选手之间一场比赛可能出现打 2 局和打 3 局的情况， 所以可以得到Qij 的计算公式为：Qij = Pij 2 + C21 （ 1 - Pij ） Pij 2用 excel 计算得到 Qij 的矩阵：Qij =0.5 0.45 0.40.55 0.5 0.450.6
4、0.55 0.5由题意知， 每队有三名上场队员， 他们所有可能出场的顺序有六种， 分别设为 m 、 n （ m、 n=1,2,3,4,5,6 ）即 ： 1=A1、 A2 、 A3、 A1、 A2 1=B1 、 B2、 B3 、 B2、 B1 2=A1、 A3 、 A2 、 A1 、 A3 2=B1 、 B3、 B2、 B3、 B1 3=A2、 A1、 A3 、 A2、 A1 3=B2 、 B1、 B3 、 B1、 B2 4=A2、 A3 、 A1、 A2、 A3 4=B2、 B3、 B1、 B3 、 B2 5=A3、 A1、 A2 、 A3、 A1 5=B3 、 B1、 B2 、 B1、 B3
5、 6=A3、 A2 、 A1、 A3、 A2 6=B3、 B2、 B1、 B2 、 B3a. 当甲队前三局获胜时，即三场结束比赛，设 Rmn （ m、 n=1,2,3,4,5,6 ）表示此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率， 从而得到矩阵。 通过分析 , 计算 R矩阵存在以下规律，比如 R23 表示甲队以 2 =A1 、 A3、 A2 、 A1、 A3出场比赛，乙队以 3 =B2、 B1、 B3、 B1、 B2出场比赛，即 R23=Q12 ? Q31 ? Q23 。 R32表示甲队以 3=A2、 A1、 A3、 A2、 A1 出场比赛，乙队以 2=B1、 B3、 B2、 B3、 B1出
6、场比赛，即 R32=Q21 ? Q13 ? Q32 ，再利用 excel 工具以及 Q矩阵计算，如图：所以得到比赛三场结束的甲队获胜的矩阵如下：Rmn =0.125 0.122206 0.122206 0.116279 0.117183 0.1140480.122206 0.125 0.116279 0.122206 0.114048 0.1171830.122206 0.117183 0.125 0.114048 0.122206 0.1162790.117183 0.122206 0.114048 0.125 0.116279 0.1222060.116279 0.114048 0.122
7、206 0.117183 0.125 0.122060.114048 0.116279 0.117183 0.122206 0.122206 0.125b. 当甲队四场结束比赛时，即前三场比赛输一场，第四场比赛赢。 Smn （ m、n=1,2,3,4,5,6 ）表示此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率，从而得到矩阵 S，比如 S23 表示甲队以 2=A1、 A3 、 A2、 A1、 A3出场比赛，乙队以 3 =B2、 B1、 B3、 B1、 B2出场比赛， S32 表示甲队以 3=A2、 A1、 A3 、 A2、 A1 出场比赛，乙队以 2=B1、 B3、 B2、 B3、 B1出场比赛
8、，再利用 excel 工具以及 Q矩阵计算，如图：所以得到比赛四场结束的甲队获胜的矩阵如下：Smn =0.215531 0.24481 0.188897 0.250209 0.190207 0.2218260.217137 0.243 0.193063 0.24481 0.192976 0.2186430.188897 0.218643 0.159469 0.221826 0.160657 0.1930630.190207 0.217137 0.164126 0.215531 0.1642 0.1888970.1642 0.192976 0.132983 0.190207 0.132 0.16
9、06570.164126 0.193063 0.133905 0.188897 0.132983 0.159469C. 当甲队五场结束比赛时，即前四场比赛输两场，第五场比赛赢。 Tmn （ m、n=1,2,3,4,5,6 ）表示此种比赛情况甲队在不同的出场顺序下获胜的概率，从而得到矩阵 S，比如 T23 表示甲队以 2=A1、 A3 、 A2、 A1、 A3出场比赛，乙队以 3 =B2、 B1、 B3、 B1、 B2出场比赛， T32 表示甲队以 3=A2、 A1、 A3 、 A2、 A1 出场比赛，乙队以 2=B1、 B3、 B2、 B3、 B1出场比赛，再利用 excel 工具以及 Q矩阵
10、计算，如图：所以得到比赛五场结束的甲队获胜的矩阵如下：Tmn 0.159468 0.1606568 0.1888968 0.19121193 0.2202839 0.22182590.1329834 0.132 0.1629852 0.16065680 0.192976 0.19184800.1888968 0.1918480 0.215531 0.22182591 0.244810 0.24835840.1349107 0.1329834 0.1641260 0.15946875 0.1918480 0.18889680.1918480 0.19297 0.2171369 0.2202839
11、8 0.243 0.24481030.1641260 0.1629852 0.1912119 0.18889689 0.21713697 0.2155312由上述、 、 三种情况可以知道： 甲队在此次比赛中以不同出场方式获胜的概率矩阵 mn Rmn Smn Tmn所以： mn =0.5 0.52767 0.5 0.557699 0.5276733 0.55769980.47232 0.5 0.47232 0.527673 0.5 0.52767330.5 0.52767 0.5 0.5577 0.527673 0.55770.4423 0.47232 0.4423 0.5 0.472327 0
12、.50.47232 0.5 0.47232 0.527673 0.5 0.52767330.4423 0.47232 0.4423 0.5 0.472327 0.5另外不防用 excel 检验如下： mn =0.5 0.52767 0.5 0.5577 0.52767 0.55770.4723 0.5 0.47232 0.527673 0.5 0.52767330.5 0.52767 0.5 0.5577 0.52767 0.55770.4423 0.47232 0.4423 0.5 0.472327 0.50.4723 0.5 0.47232 0.527673 0.5 0.52767330.
13、4423 0.47232 0.4423 0.5 0.472327 0.5三、分析从 W矩阵可以看出当甲队伍以 1 和 3 队员顺序出场比赛时，无论乙队以何种队员顺寻出场，甲队的胜率都大于等于 50%，另外当甲队以 1 和 3 顺序参加比赛，乙队以 4或者 6顺序参赛时，甲队获胜的几率最高，有 55.77%。相比之下，甲队以其他出场顺序参赛时，总会出现胜率低于 50%的情况，并且最高胜率仅为 52.8%，比前者的 55.7%低。下面比较的区别 1 和 3 ：由 W 矩阵可知，这两种排序方式的结果完全相同，唯一的区别是 A1、 A2两名队员谁先上场， 通过题目所给的概率表格我们知道 A1队员与乙队
14、所有运动员的比赛胜率都大于等于 50%，但是 A2运动员则没有这个优势。在体育比赛中第一局比赛十分重要， 第一局比赛胜利会给之后参加比赛的队员心里的优势， 有利于运动员技术的发挥。 相反如果第一局比赛失利， 会增加随后运动员的心理压力。 所以第一局应该用把握比较大的选手。综上，我们认为甲队以 1 顺序参赛，胜算最大。第二问：同样用第一问中的方法分析，改变题中的胜率，得到如下矩阵：赛三场的矩阵R mn =0.125 0.122206219 0.122206219 0.189861514 0.076901173 0.1222062190.122206219 0.125 0.189861514 0.
15、122206219 0.122206219 0.0769011730.122206219 0.076901173 0.125 0.122206219 0.122206219 0.1898615140.076901173 0.122206219 0.122206219 0.125 0.189861514 0.1222062190.189861514 0.122206219 0.122206219 0.076901173 0.125 0.1222062190.122206219 0.189861514 0.076901173 0.122206219 0.122206219 0.125赛四场的矩阵S
16、 mn =0.21553125 0.160656805 0.188896891 0.179212319 0.155904584 0.2171369760.217136976 0.15946875 0.210714073 0.160656805 0.188896891 0.1792123190.188896891 0.179212319 0.15946875 0.217136976 0.160656805 0.2107140730.155904584 0.217136976 0.160656805 0.21553125 0.179212319 0.1888968910.179212319 0.188896891 0.217136976 0.155904584 0.21553125 0.1606568050.160656805 0.210714073 0.
