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1、高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课,通过本课程的学习,也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”,“微积分”,“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时,要着眼于提高学生的数学素质,培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章:函数与极限教学目的与要求 18学时 1.解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性
2、、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。第一节:映
3、射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法:用A,B,C,D表示集合;用a,b,c,d表示集合中的元素1)2)元素与集合的关系: 一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。常见的数集:N,Z,Q,R,N+元素与集合的关系: A、B是两个集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作。如果集合A与集合B互为子集,则称A与B相等,记作若作且则称A是B的真子集。空集: 2、 集合的运算并集 :交集 : 差集 :全集I 、E 补集: 集合的并、交、余运算满足下列法则:交换律、 结合律、
4、分配律 对偶律 ( 笛卡儿积AB3、 区间和邻域开区间 闭区间 半开半闭区间 有限、无限区间邻域: a 邻域的中心 邻域的半径 去心邻域 左、右邻域二、映射1. 映射概念定义 设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对X中的每一个元素,按法则,在Y中有唯一确定的元素与之对应,则称为从X到Y的映射,记作 其中 称为元素的像,并记作,即 注意:1)集合X;集合Y;对应法则 2)每个X有唯一的像;每个Y的原像不唯一 3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念:定义:设数集,则称映射为定义在D上的函数 记为 自变量、因变量、定义域、值域、函数值用、 函数相等:定义域、对应
5、法则相等 自然定义函数;单值函数;多值函数、单值分枝. 例:) 2) 3) 符号函数4) 取整函数 (阶梯曲线)5) 分段函数 2、 函数的几种特性1) 函数的有界性 (上界、下界;有界、无界)有界的充要条件:既有上界又有下界。注:不同函数、不同定义域,有界性变化。 2) 函数的单调性 (单增、单减)在x1、x2点比较函数值 与的大小(注:与区间有关)3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立:)3、 反函数与复合函数 反函数:函数是单射,则有逆映射,称此映射为函数的反函数函数与反函数的图像关于对称 复合函数:函数定义域为D1
6、,函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意:构成条件)4、 函数的运算 和、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算)5、 初等函数:1) 幂函数: 2)指数函数: 3) 对数函数 4)三角函数 5) 反三角函数, 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数 注:双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式反双曲函数:作业: 同步练习册练习一第二节:数列的极限一、数列 数列就是由数组成的序列。 1)这个序列中的每个数都编了号。2)序列中有无限多个成员。一般写成:缩写为例 1 数列是这样一个数列,其中 ,也可写为:可发现:这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近0,记为1、 极限的定义:则称数列
7、的极限为,记成 也可等价表述:1) 2)极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1:如果数列收敛,那么它的极限是唯一定理2 如果数列收敛,那么数列一定有界定理3:如果且a0(a0,当nN时,定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。第三节:函数的极限 一、极限的定义1、在点的极限1)可在函数的定义域内,也可不在,不涉及在有没有定义,以及函数值的大小。只要满足:存在某个使:。2)如果自变量趋于时,相应的函数值 有一个总趋势-以某个实数为极限 ,则记为 :。形式定义为: 注:左、右极限。单侧极限、极限的关系2、的极限 设:如果当
8、时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近线-则称函数在无限远点有极限。记为: 在无穷远点的左右极限: 关系为:二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节:无穷小与无穷大一、无穷小定义定义:对一个数列,如果成立如下的命题: 则称它为无穷小量,即注: 1、的意义;2、可写成; 3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数,存在一个号码N,使在这个号码以后的所有的号码,相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1 在自变量的同一变化过程(或中,函数具有极限A的充分必要条件是,其中
9、是无穷小。二、无穷大定义 一个数列,如果成立:那么称它为无穷大量。记成:。 特别地,如果,则称为正无穷大,记成特别地,如果,则称为负无穷大,记成注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且则为无穷大即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当时:有 注意是在自变量的同一个变化过程中第五节:极限运算法则1、无穷小的性质设和是无穷小量于是:(1)两个无穷小量的和差也是无穷小量: (2)对于任意常数C,数列也是无穷小量: (3)也是无穷小量,两个无穷小量的积是一个无穷小量。 (4)也是无穷小量
10、: (5)无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、 若函数和在点有极限,则2、 函数在点有极限,则对任何常数成立 3、若函数和在点有极限,则 3、 若函数和在点有极限,并且,则 极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限例:求下述极限 4、 复合函数的极限运算法则定理6 设函数是由函数与复合而成,在点的 某去心邻域内有定义,若,且存在,当时,有,则第六节:极限存在准则 两个重要极限 定理1 夹逼定理 :三数列、和,如果从某个号码起成立:1),并且已知和收敛, 2),则有结论: 定理2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛;单调减少有下界的数列一定收敛。例:证明
11、:例: 证明:有界。求 的极限 第七节:无穷小的比较定义:若为无穷小且 高阶、低阶、同阶、k阶、等价 1、 若为等价无穷小则 2、 若 、且存在,则: 例: 第八节:函数的连续性与间断点一、 函数在一点的连续性函数在点连续,当且仅当该点的函数值 、左极限与右极限三者相等: 或者:当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 其形式定义如下:函数在区间(a,b)连续指:区间中每一点都连续。函数在区间a,b连续时注意端点。注:左右连续,在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 若:中有某一个等式不成立,就间断,分为:1、 第一类间断点:可去型:但跳跃型:即
12、函数在点的左右极限皆存在但不相等,曲线段上出现一个跳跃。2 、第二类间断点:左极限与右极限两者之中至少有一个不存在(无穷型间断点和振荡型间断点) 例:见教材第九节:连续函数的运算与初等函数的连续性一、 连续函数的四则运算1.且,2且,3. 且, 反函数连续定理:如果函数是严格单调增加(减少)并且连续的,则存在它的反函数:并且也是严格单调增加(减少)并且连续的。注: 1)反函数的定义域就是原来的值域。2)通常惯用X表示自变量,Y表示因变量。反函数也可表成 复合函数的连续性定理: 设函数和满足复合条件,若函数在点x0连续;,又若函数在点连续,则复合函数在点连续。 注:复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换:从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且:初等函数在其定义区间内连续。第十节:闭区间上连续函数的性质 一、 最大、最小值设函数:在上有界,现在问在值域中是否有一个最大的实数?如果存在,譬如说它是某个点的函数值 ,则记叫做函数在D上的最大值。 类似地,如果 中有一个最小实数,譬如说它是某个点的函数值,则记称为函数在上的最小值 。二、有界性有界性定理