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1、1浅谈数形结合在小学数学教学中的应用陈邵峰摘要：我国著名数学家华罗庚曾说过 “数形结合百般好，隔裂分家万事非。 ”那么反映了事物两个方面的属性就是“数”与“ 形”。而数形结合在实际中的应用是把研究数量关系和空间形式结合起来，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化成图形问题来讨论并解决，或者把图形问题转化成数量关系来讨论并解决，或者把数与形 结合起来解决实际的问题。由此可以达到化难为简 ，化繁 为易的目的。关键词：数形结合 数学教学 应用正文：数与形是数学中两个最友好的朋友，也是数学中最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。小学数学所学的知识大致可以分为两大部：一部分是数，一部分是
2、形,因此数与形是存在联系的，这种联系称之为数形结合。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过把抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，作为一种数学思想方法。因此数形结合可以帮助学生理解数量关系的好帮手，能帮助学生形成解题策略，能帮助发展数学思想，养成良好的思维习惯。下面本人先来说说个人对数形结合思想的意义，然后以数形结合在北师大版五年级数学教学中的应用为例，谈谈数形结合在数学教学中的应用。一、数形结合的教学意义1、有利于理清数量关系。由于数量关系本身过于抽象，而图
3、形具有直观、形象、便于操作的特点，所以学生在解决数量关系问题时学会借助图形罗列信息，分析条件和问题，分析数量关系，准确地找出数量间的对应关系。因此，要求教师在课堂教学中，要善于利用教材中的主题图，让学生从具体情境中抽象出数学问题。在平时的教学中，引导学生主动而有效利用课本中的图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。2、有利于形成解题策略。图形采用了数形结合的形式，把数学问题中的数量关系清楚地呈现出来，一目了然地勾勒出已有信息与待求问题之间的内在联系，便于学生从分析数量关系的角度进行数学思考。例如，在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。直观的图能让复杂数学问题的信息
4、变得简洁明了，有利于学生探索解决问题的思路，从而形成自己的解题策略，并发展策略意识。3、有利于发展数学思想。数形结合作为数学一种思想方法，而数学思想方法是学生在数学活动中对某一具体数学内容或探索过程的本质认识，是学生综合运用数学知识解决问题的指导思想和方法保障。对于中低段的学生，他们是以具体形象思维为主，实施先图形后数字，让学生从图形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决。对于中高段的学生，他们则是以逻辑思维能力为主，逐步过度到先数字后图形。二、五年级教材中应用数形结合教学研究内容1.五年级内容数与代数 空间与图形 实践应用问题五年级数学 数学与交通分数混合运算（三）比较图形
5、的面积平行四边形的面积点阵中的规律2数形结合的应用 数形数以形助数形数形以数助形以形助数和以数助形相结合2.教学策略（1）以形助数 图形是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具，既能舍弃问题的具体情节，又能形象地揭示条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，显示出已知与未知的内在联系，激活学生的思维，帮助学生选择合适的解决方法。教学片段：数学与交通相遇再次出示书 56 页的情境图“送材料”活动二：思考并解决“出发后几时相遇？”问题教师：同学们在前面的问题上思考的很厉害!那这个问题，我们又该怎样去解决呢？先从刚才我们收集的信息入手。 （引导学生把抽象的问题用线段直观的表示出来）面包车行驶的
6、路程 小轿车行驶的路程遗址公园 天桥教师：现在请各小组讨论如何计算出相遇用的时间？生 1：运用四年级我们学过的速度时间=路程。然后先算出两车每小时的速度和，就可以用路程速度求出相遇所用的时间：60+40=100（千米/时） 50100=0.5（时）所以，出发后 0.5 时相遇。生 2：我们小组可以列综合算式: 50(60+40)=0.5(时)比他们小组的方法简单。生 3：我们小组是用学过的方程来解决问题的：我们先假设经过 x 小时两车相遇，那么面包车行使 40x 千米，小轿车行使 60x 千米。60x+40x=50100x=50x=0.5教师：这位同学你们的思路好像和前面两位同学的不一样，你们
7、可以说说你们的思路吗？生 3：我们是通过老师教我们画的图形得出：面包车行驶的路程+小轿车行驶的路程=50 千米。然后，面包车行驶的路程=40时间 ;小轿车行驶的路程 =60时间。它们的时间相等，但是又不知道。所以我们就想到假设为 x。教师：你们真棒！方程方法是顺向思维，很容易通过分析题目中的已知和未知条件，然后画出图形找到等量关系。 反思： “授之以鱼，不如授之以渔” ，就是要帮助学生整理清楚解决问题的思路，从而掌握解决问题的方法。本来行程问题中的相遇对学生来说是比较抽象的，但是通过图形的帮助理清思路。把抽象的数学问题转化成图形的问题来解决，达到了化繁为简的目的。在教学分数应用题时，让学生通过
8、准确的线段图，很快找出单位“一” ，量与量所对应的分率，确定解题的方法，从而提高学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力。我们在数学教学中，多注重转化的思想，让学生在转化中培养用形来揭示数的能力。（2）以数助形数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“数”的问题转化为形的问题来解决；一是“形”的问题转3化为数的关系问题来解决。前面我们已经介绍了第一种的情况。接下来我们来说说第二种的情况。它往往把不规则的图形放在方格中进修比较。教学片段：比较图形的面积出示书 16 页的观察与比较的图形。教师：在到这个图形了，大家都很熟悉吧！现在请大家数一数每个图形的面积。你是用什么方法知道的？ 生 1：我是通
9、过数格子的方法。知道第 12 幅图形的面积是 15。其它的都没有满格子，我数不来。教师：你很棒了！你教给大家一种，在满满的格子里面的图形，我们可以通过数格子来求它的面积。其他同学还有别的方法吗？生 2：我是通过把一部分割下来，然后补到另一个位子。知道了第 4、7、8、11 幅的面积的。教师：怎么割啊？学生 2 上教台来给其他学生讲解。 （通过割和补，把一些不规则的图形变成了规则的图形。 ）教师：不错！你已经通过自己的努力把我今天要教给大家的另一种方法转化法（通过割补、拼合转化为规则的图形后，再做计算。 ）教师：现在我们来找找这些图形有什么关系？你是怎样知道的？与同学进行交流。生 1：通过刚才学
10、习的割补法，我知道了 11 和 12 相等，7 和 8 相等。生 2：通过旋转和平移，我知道了 1 和 3 相等，2、5 和 6 相等。教师：大家都很厉害啊！反思：学生操作时应下到组里，指导学生,了解学生的情况。多数人出现的问题集体解决，个别的当场解决 ，并且不一定要我们解决,最好提出来让同学帮助解决，尽量让学生解决问题。数格子是最典型的以数助形的方法，把不规则的图形放到方格子里面，然后通过割补法来求图形的面积。教学片段平行四边形的面积教师：刚才我们已经学习了平行四边形的面积公式。现在我们一起再来回顾一下。平行四边形的面积=底高。学以致用！现在我们先来完成书 24 页的第二题。 （五分钟后就有
11、同学举手了。 ）生 1：我发现它们三个的面积都相等。教师：你们是怎么知道啊？生 2：我们是通过计算得来的！最左边的面积等于 10cm，中间的面积等于 10 cm，最旁边的面积也等于10cm。所以他们三个都相等。教师：你们真厉害啊！这些平行四边形有什么共同点啊？生 3：它们的面积相等。生 4：底和高都相等。 （师生共同归纳出“等底等高的平行四边形面积一定相等” 。 ）教师：这句话倒过来怎么说？生 5：面积相等的平行四边形一定等底等高。教师：你们认为正确吗？（等了快五分钟，一位同学举手了。 ）生 6：我认为是正确的。生 7：我认为是不正确的。我的理由是一个平行四边形的面积是 12，它的底和高可以
12、2 和 6；也可以是 3 和 4 。教师：大家说对吗？（等待了一分钟）回答的非常正确。反思：在数形结合中理解几何图。我们应引导学生把“形”用“数”生动地再现出来，并理解数量关系、分析图形的特点。同时也能让学生在这个过程中体会到培养用数来表示形，用形来揭示数的能力。（3）以形助数和以数助形相结合在寻找图形规律教学中领域利用数形结合方法，丰富学生对于数学思想方法的体验。4教学片段点阵中的规律演示课件，生欣赏一组美丽的图案。教师：你们能给这些图案取个名字吗？这些图案都是由许多点按规律排列起来的，这样的图案就是点阵，也可以说它是点阵图，点阵可以分为方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵等几种形式。出示书 82
13、 页的点阵图案，提出问题。教师：今天我们要一起用这些点阵图研究数，寻找点阵中的规律。现在我们来想一想，第五个点阵中有多少个点？第六个呢，第七个，第八个，第九个？下面先请你们画出第五个点阵，并说一说你是怎样想的？生 1：我们是这样想的：第一个到第二个的时候，就是在第二个的外面加半圈。以此类推，第二到第三，第三到第四都是一样的。所以第五个也就是在第四个的基础上填上一竖多一个，在填上一行。最后数出 25 个的。生 2：老师，我比他的简单。我们先数前四的点阵分别有多少个点，然后我们就来观察这些数字。它们分别是1、4、9、16。最后我们发现它们分别是 11=1；22=4 ；33=9；44=16。所以第五
14、个就是 55=25。生 3：我们发现 4=1+3；9=1+3+5：16=1+3+5+7。它们都是奇数的相加。所以第五个就是 1+3+5+7+9=25。然后它们都是整齐的排列着，所以第五个就是 5 个一行。教师：你们真棒！老师要说的，都被你们给说完了。反思：在课堂教学中，数与形的结合是我们和学生学习数学的一种思想方法，我们要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利于解题。把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标。从以上几个例子可以看出，在数学课堂的教学中，我们要注重教材，教材中的内容要充分发掘出来，要在教学中时时渗透
15、数形结合的思想，更重要的是我们的教学方法和教学过程要有渗透数形结合思想的意识。数形结合思想既可以增加学生对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解能力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。因此在课堂教学中，要给学生更大的空间，多发现学生的闪光点，让学生养成自主探索、合作交流的学校习惯，增强对数形结合的认识。总之，数形结合是一种将数学思考、数学研究、数学应用、数学教学有机的结合起来的基本方式。数与形是互逆的过程，要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用，就要熟悉相应问题的图形背景，熟悉有关数学式中的几何意义，建立结合图形思考问题的习惯。在学习中不断摸索，积累经验，加强对数形结合思想方法的
16、理解和运用。恩格斯说过， “数学是研究现实世界的两种关系与空间形式的科学” 。这就是说，数形结合是数学的本质特征，宇宙万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。因此，数学教学中突出数形结合的思想方法正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。也就是通过数与形之间的对应、转化来解决数学问题的思想。数形结合要求我们在长期的教学过程中潜移默化的让学生掌握，仅仅靠几节课专门讲数形结合法解题的例子是不能使学生真正理解和掌握数形结合方法的。因此在教学中，我们可以经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画线段图等训练，让学生在无形中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，从而养成根据题意画图形来帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生以后的学习奠定好的学习方法。5
