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1、第三节 幂级数一、函数项级数的概念函数列：（这些函数定义区间为 ）I ,21xuxun我们称 为函数项级数。对121 nnxu于 ，如果 收敛，则称 为级数 的收敛Ix010n 0x1nxu点，部分和为 ，在收敛域内有 ；余项xs snlimxrnn二、幂级数及其收敛性级数 称为幂级数，记为 。 nxaxa210 0nxa例 14： n!1!32例 15：判别幂级数 的收敛性。 nxx32定理 1：如果幂级数 当 时收敛，则适0na0合不等式 的一切 都收敛；反之如果级数 当0xx0nxa时发散，则适合不等式 的一切 使幂级数发散。0x0xx证明：1）因为 收敛，根据必要条件有 ，数0nxa
2、0limna列 有界，即存在常数 使得 恒成立。nxa0 Mxan0nnnxMxa00因为 ，所以级数 收敛，由比较判别法 绝10x0nn 0nxa对收敛。2）反证法。推论：如果幂级数 不是仅在零点收敛也不是在整个实0nxa数轴上收敛，则一定存在一个正实数 ，当 时级数Rx收敛；当 时级数 发散。0nxaRx0nxa我们称 为级数 的收敛半径。称开区间 为级R0naR,数 的收敛区间，如果再判断端点的收敛情况得到的收0nxa敛点集为级数 的收敛域。0nxa定理 2：如果 ，其中 是幂级数 相邻pn1limna,10nxa两项的系数，则幂级数的收敛半径 pR0证明：1）如果 ，则 ；当 时，0p
3、 xpaxannn11limli p1，由比值判别法可得级数 收敛；当 时，xp0n，幂级数 发散。1xp0nxa1） 如果 ， ，所以对任p 0limli11xpaxnnn给的 有幂级数 收敛。x0na2） 如果 ， ，所以对p xpaxnnn11lili任给的非零的 有幂级数 发散。x0n例 16：判别下列幂级数的收敛半径和收敛域1） ； 2）1nnx0!1nx3） 4）0!n 02!n5） 12nnx解：1） ，级数11nlimalin 1nnx收敛半径为 ，收敛区间为 。,因为 收敛，而 发散1n 11nn收敛域为 。(,2） ，级数011nlimalin 0!nx收敛半径为 ，收敛域
4、为 。,3） ，级数1n1nliali 0!nx收敛半径为 ，仅在 处收敛。04） ，级数4121nlimalinn 02!nnx收敛半径为 ，收敛区间为 。221,当 时，1x220003521!46nnn nx 352351467 因为 发散，由比较判别法 发散01n20!nn收敛域为 。2,5） ，级数11nlimalin 12nnx收敛半径为 ，收敛区间为 。23,当 时， 收敛1x11nnnx当 时， 发散3112n收敛域为 。,)注：求收敛区间时，不用考虑端点的敛散性；求收敛域时，必须考虑端点的敛散性。四、幂级数的分析性质及幂级数求和三个重要性质性质 1：幂级数在 的和函数 在收敛
5、区间 上0nxaxsR,连续，如果幂级数在端点收敛和函数也在端点连续。性质 2：幂级数在 的和函数 在收敛区间 上0nxaxsR,可导，并且 1n-xas逐项求导后得到的幂级数收敛半径还为 。R性质 3：幂级数在 的和函数 在收敛区间 上0nxaxsR,可积，并且 0010nnnxx xadtts逐项积分后得到的幂级数收敛半径还为 。R例 17：求幂级数 在收敛区间 内的和12nnx2,函数，并求 。12n解：设其和函数为 ，在收敛区间 内有xs2, 2211112n02n0t xxxddts nnnxx 两边求导得 222 xxxs 。311sn例 18：求幂级数 在收敛区间 内的和函数，并求21nx1,21nn解：设其和函数为 ，在收敛区间 内有xs1,nxsn11222两边积分得 xxxx tlntdtdtts 0202020 111 ， 2xlnxs l12 sxx4112 lsn
