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1、冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.11.30,第七章 平面弹性问题 Plane Problems of Elasticity,平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解例 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论,Chapter 7.4,直角坐标解例,三角级数解 外载荷q与解 都可展 为Fourier 级数,或,应力函数对 x 展成三角级数的一般形式： 考虑级数中的任意一项： 代入协调方程,Chapter 7.4,直角坐标解例,Chapter 7.4,平面问题直角坐标解,其通解为：,Chapter
2、7.4,代入 n 就得满足协调方程的一般项：,通过边界条件来确定待定常数。,直角坐标解例,平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方便： 例如：圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇形、带小圆孔的物体、一些半无限大问题，等等。,Chapter 7.5,基本方程,(1) 平衡方程,(2) 几何方程,平面问题的极坐标解,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,(3) 本构方程,基本
3、方程,平面应力,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,轴向分量为：,平面应力,平面应变,平面应变：,(4) 协调方程,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,基本方程,或,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,反之,或,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,极坐标下的调和算子：,极坐标平面问题的应力函数解法基本方程,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,极坐标下，应力与应力函数的关系式：,即应力第一不变量与坐标选择无关。,位移：,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,二阶张
4、量（应力、应变）,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,或写成：,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,边界条件,Chapter 7.5,平面问题的极坐标解,当边界为坐标线时： = 2: = p1, r = pr1, r = r1: r = -pr2, r = -p 2,(n+1)连通域，位移单值性条件,平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论,Chapter 7.6,轴对称问题,轴对称问题：几何形状与载荷分布都与环向坐标 无关,例1：厚壁筒受内压 p
5、i , 外压 po,Chapter 7.6,轴对称问题,例2：旋转圆盘受 离心力 fr = 2r,例3：曲梁受纯弯曲: 位移与 有关，应力、应力函数与 无关,Chapter 7.6,轴对称问题,例4：圆盘受内、外均匀扭转: 应力函数与 有关，应力、位移与 无关,Chapter 7.6,轴对称问题,应力函数解法,Chapter 7.6,轴对称问题,协调方程简化为,四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。,Chapter 7.6,轴对称问题,实系数欧拉方程的求解,设解具有幂函数形式： 代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程,Chapter 7.6,轴对称问题,其n个特征根，分别记为k1，k
6、2，kn。 当它们为互不相重的实根时，通解形式为： 当出现重根时，每多一重根相应系数就多乘一个对数因子lnr。,Chapter 7.6,轴对称问题,若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子。例如，当 时，通解为： 当出现重复根时，则实部要多乘对数因子lnr。例如，当k1,2为p重共轭复根时，通解为：,设解具有幂函数形式： 代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程,Chapter 7.6,轴对称问题,求解应力函数的双重调和方程,Chapter 7.6,轴对称问题,其特征根： 通解： 应力表示为：,Chapter 7.6,轴对称问题,应变分量：,Chapter 7.6,轴对称问题,于是可得
7、位移分量,Chapter 7.6,轴对称问题,利用：,常数,Chapter 7.6,轴对称问题,于是，轴对称位移分量：,六个积分常数由边界条件确定。,位移单值条件要求：B=0,Chapter 7.6,轴对称问题,位移单值条件要求：B=0,对于两端自由的轴对称问题，无论轴向有多长都属于平面应力问题。,Chapter 7.6,轴对称问题,对于圆域，为防止圆心r=0处出现无限大应力，必须令A=0。于是： 这是个均匀拉压应力状态。,Chapter 7.6,轴对称问题,对于无应力(A=B=C=0)状态, 位移分量表达式为：,I和K分别是极坐标原点在x和y方向的刚体位移，而H是绕z轴的刚体转动。,Chap
8、ter 7.6,轴对称问题,一般轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位移(I=K=0), 且考虑位移单值情况(B=0)，则位移与 无关。如进一步限制刚体转动(H=0)，则只剩下径向位移：,其中,Chapter 7.6,轴对称问题,位移解法 限制原点的刚体位移和转动，由对称性可设： 代入几何方程、本构方程、平衡方程，得位移表示的平衡方程：,Chapter 7.6,轴对称问题,该欧拉方程的通解为：,利用轴对称的应力公式 ，得：,Chapter 7.6,轴对称问题,例1 厚壁筒的 Lam 解 边界条件为：,Chapter 7.6,轴对称问题,应力结果（拉梅公式）：,它和弹性常数无关，因而同
9、时适用于两类平面问题。但是在平面应力中 ，而平面应变中,Chapter 7.6,轴对称问题,位移： 可见与弹性常数有关，对平面应变需做弹性常数替换。,平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论,当载荷分布与环向坐标有关时，应力函数可展成三角级数： 其中第一项0是解的轴对称分量。 对于环向不闭合的楔形域或扇形域，应力函数展开式中还将出现因子的函数项,Chapter 7.7,非轴对称问题,Chapter 7.7,非轴对称问题,J.H. Michell 给出极坐标通解 (
10、1899),Chapter 7.7,非轴对称问题,+C03 (不引起应力),+C13rcos (不引起应力),+C13rsin (不引起应力),Chapter 7.7,非轴对称问题,几个典型问题,闭合圆环形域：边界： r =常数 的 复连通域，周期性 曲梁： 单连通域。 边界： r =常数（主要边）， =常数（次要边） (3) 楔形体： 单连通域。 边界： =常数（主要边）， r =常数（次要边）,Chapter 7.7,非轴对称问题,例1 小孔应力集中 应力集中系数：,max 为最大局部应力；0 为名义应力。,Chapter 7.7,非轴对称问题,外圆边界rb上的应力边界条件：,Chapte
11、r 7.7,非轴对称问题,在内孔处的边界条件为：,(1),应设为： 代入协调方程得：,Chapter 7.7,非轴对称问题,其特征方程为：,通解为：,Chapter 7.7,非轴对称问题,应力：,利用边界条件，定出积分常数：,其中,Chapter 7.7,非轴对称问题,对无限大板小圆孔情况， 各常数简化为：,等值拉压无限大板中，小圆孔附近的应力：,Chapter 7.7,非轴对称问题,具有小圆孔的无限大平板受到远场均匀拉力,Chapter 7.7,非轴对称问题,Chapter 7.7,非轴对称问题,关于 =45的反对称问题的解,周期函数,Chapter 7.7,非轴对称问题,Chapter 7
12、.7,非轴对称问题,单向均匀拉伸0的孔板（Kirsch问题）,平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类 平面问题的基本解法 应力函数的性质 直角坐标中的平面问题解 平面问题的极坐标解 轴对称问题 非轴对称问题 关于解和解法的讨论,Chapter 7.8,解和解法的讨论,本章各解例的基本出发点是：假设问题的解由各项可以分离变量的函数组成，即令 然后按如下步骤求解： 设法判断应力函数沿主要边界的坐标方向上的函数变化规律(例如fi(x)或gi()。,Chapter 7.8,解和解法的讨论,代入应力函数解法基本方程，确定另一坐标方向上的函数变化规律(例如gi(y)或fi(r) 利用边界条件定出解
13、中所含的待定常数。 第一步的判断带有一定的经验性，主要方法是： 根据几何形状和载荷分布的特点来判断物体内部应力和应力函数的分布规律。 把应力函数沿主要边界的分布规律推广到域内。,Chapter 7.8,解和解法的讨论,对有些问题可以参考材料力学或其他简化理论的结果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律。 灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解叠加起来去共同满足边界条件。 第三步的关键是要正确地给定边界条件。在主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分形式条件。,Chapter 7,平面问题,谢谢！,Chapter 7,平面问题,Chapter 7,平面问题,Chapter 7,平面问题,
