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1、（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3几何概型的概率计算公式.4必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域
2、解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一 与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.学%
3、科网注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率.典例1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟第一节课上课的时间为7:508:30,课间休息10分钟某同学请假后返校,若他在8:509:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A BC D【答案】A 故所求概率为,选A学科*网典例2 在区间上随机抽取一个数,则事件“”发生的概率为A BC D【答案】A 1在上随机取一个实数m，能使函数在上有零点的概率为A BC D2中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午到，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排
4、播出时长分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是A BC D考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A BC D【答案】A典例4 圆O内
5、有一内接正三角形,向圆O内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为A BC D【答案】C 3一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为A BC D4在区间上随机取两个实数，记向量，则的概率为A BC D考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.学科#网典例5 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行
6、过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A BC D【答案】C5有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于l的概率为A BC D考向四 随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率，然后根据列等式求解.典例6 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之
7、弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2勾股+(股-勾)2=4朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(1.732)A134B268C402D536【答案】C故选C.学科&网6关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估
8、计的值.如果统计结果是，那么可以估计的值为A BC D1在内任取一个实数，则的概率为A BCD2在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为A BC D3在直角坐标系中,任取n个满足x2+y21的点(x,y),其中满足|x|+|y|1的点有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A BC D4如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A为圆心、1为半径作圆弧DE,点E在线段AB上,在圆弧DE上任取一点P,则直线AP与线段BC有公共点的概率是A BC D5甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有
9、一艘在停泊位时必须等待的概率A BC D6九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A B C D7已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为A BC D8赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三
10、角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是A BC D9已知P是所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是A BC D10有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于米的概率为_.11若在区间0,4上随机选取一个数x,使xa的概率为,则a=_.12如图，在平面直角坐标系内，以轴的正半轴为始边，射线落在角的终边上，射线落在角的终边上，任作一条射线，则射线落在阴影部分内的概率为_.13一个正方体的外接球的表面积为48,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为_.14下图是一个边
11、长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_.15在区间内随机地取出两个实数，则这两个实数之和小于的概率是_16某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域；(2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.17已知圆,点.(1)若是从三个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求点在圆内的概率;(2)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求点在圆外的概
12、率.18已知函数).(1)若从集合中任取一个元素从集合中任取一个元素,求方程有实根的概率;(2)若从区间中任取一个数从区间中任取一个数,求方程没有实根的概率.1（2017新课标全国文科）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A BCD2（2016新课标全国文科）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A BC D3（2017江苏）记函数的定义域为在区间上随机取一个数，则的概率是 变式拓
13、展1【答案】B所以有零点的概率为.2【答案】D【解析】午间新闻的播出时间是每天中午，时长30分钟，小张打开电视，可能看到完整新闻报道的时间为5分钟，所以所求的概率为.故选D学.科网3【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形的面积，满足到正三角形的顶点的距离至少有一个小于的平面区域如图中阴影部分所示，且，则使取到的点到三个顶点的距离都大于的概率为.故选A.4【答案】B5【答案】B【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，得P1，故点P到点O的距离大于1的概率为1.故选B6【答案】B【解析】由题意，对都小于的正实数满足，面积为； 两个数能与构成钝角三角形的三边的数对满足且，则面积为， 因为统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数为， 所以，学&科网解得.故选B考点冲关1【答案】C2【答案】B【解析】因为以线段为边的正方形的面积介于与之间，所以线段的长度介于与之间，满足条件的点对应的线段长，而线段总长为，故正方形的面积介于与之间的概率为，故选B3【答案】D【解析】画出可行域,如图所示,四边形ABCD的面积为2,其中圆O的面积为.由几何概型的概率公式,可得,则=,故选D
