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1、平面展开最短路径专项训练1、请阅读下列材料:问题:如图(1),一圆柱的底面半径、高均为,是底面直径,求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线。小明设计了两条路线:路线1:侧面展开图中的线段。如下图(2)所示:设路线1的长度为,则路线2:高线+底面直径。如下图(1)所示:设路线2的长度为,则,所以要选择路线2较短(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为,高为”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算:路线1: ; 路线2: ; , .选择路线 (填1或2)较短。(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为,高为时,应如何选择上面的两条路线才
2、能使蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的路线最短。2、如图,一个长方体的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处。(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当,时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;(3)求点到最短路径的距离。3、问题探究:(1)如图所示是一个半径为,高为的圆柱体和它的侧面展开图,是圆柱的一条母线,一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点,求蚂蚁爬行的最短路程。(2)如图所示是一个底面半径为,母线长为的圆锥和它的侧面展开图,是它的一条母线,一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点,求蚂蚁爬行的最短路程;(3)如图所示,在的条件下,一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点,求蚂蚁爬行的最短路程。4、(1)如图,一个无盖的长方体盒子的棱长分别为、,盒子的内部顶点处有一只昆虫甲,在盒子的内部顶点处有一只昆虫乙(盒壁的厚度忽略不计)。假设昆虫甲在顶点处静止不动,请画出处的昆虫乙沿盒子内壁最快爬行到昆虫甲处的所有可能路径,并求出其中的最短路程。(2)如果(1)问中的长方体的棱长分别为,如图,假设昆虫甲从盒内顶点以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行,同时昆虫乙从盒内顶点以的速度在盒壁的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲?