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1、版权所有，翻版必究第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s20p7%+Xs10p7%X = 50000 1000s20p7%s10p7%= 651.722价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a48p1.5%解得 X = 1489.363设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1。试计算该年金的现值。解：P V
2、= nanpi1 vnn= n 1n= (n + 1)nn2 nn+2(n + 1)n4已知：a np = X，a 2np = Y 。试用X和Y 表示d 。解： a 2np = anp + anp (1 d)n则Y X1d = 1 ( X ) n5已知：a 7p = 5.58238, a11p= 7.88687, a18p= 10.82760。计算i。解：a18p = a7p + a11pv7解得6.证明： 11v10=s10p +ap 。s10pi = 6.0%北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页版权所有，翻版必究证明：s10p + ap (1+i)101+1 1s10p = i(1+
3、i)101ii = 1 v107已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始 4年每半年200元，然后减为每次100元。解：P V = 100a8p3%+ 100a20p3% = 2189.7168某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日100025p8%=X15p7%解得9已知贴现率为10%，计算 8p。X = 8101.65解： d = 10%，则 i =110.求证：(1) n
4、p = anp + 1 vn；1d 1 =198p = (1 + i)1 v8i = 5.6953(2) np = s np 1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释。证明： (1) np =1dvn=1ivn=1vn i+ 1 vn所以(2)np =(1+i)n11+inp = anp + 1 vn(1+i)n1=(1+i)n1 n 1d=i1+ii + (1 + i)所以 np = s np 1 + (1 + i)n北京大学数学科学学院金融数学系 第 2 页版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年
5、金在 1979年9月7日的现值； 2）该年金在1992年6月7日的终值。解：P V = 100a49p1.5% 100a2p1.5% = 3256.88AV = 100s49p1.5% 100s2p1.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第1 10年和第2130年中每年付款金额为Y ，在第1120年中没有。已知：v 10=1，计算Y 。解： 因两种年金价值相等，则有2a30pi+a10piv10=Y a30 piY a10piv10所以 Y =3v102v301+v102v30= 1.81
6、4.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。解： 由题意知，2a2npi+ 3anpi = 362anpivn= 6解得a7p a3p+ sXpi = 8.33%15.已知 a11p= aYp + sZp。求 X，Y和Z。解： 由题意得解得1 v71 v11= (1 + i)X v3(1 + i)Z vY16.化简a 15p (1 + v15+ v30)。解：X = 4, Y = 7, Z = 4a15p (1 + v15+ v30) = a45p北京大学数学科学学院金融数学系 第 3 页版权所有，翻版必究1
7、7.计 算 下 面 年 金 在 年 初 的 现 值：首 次 在 下 一 年 的4月1日，然 后 每 半 年 一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为P=1+4.5%4.5%2000 = 46444.44 ，则P V = P(1 + i)2+23= 41300.65718.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为t，有 1解得 t = ln(1+lniPi)P = i vt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000
8、 20pi= i v29解得 X = 1000(1 + i)30 (1 + i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C 、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)n。解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么 A,B,C得到的遗产的现值为 i3anpi，而 D得到遗产的现值为v n。由题意得所以1 vn3(1 + i)n= 4= vn21.永 久 期 末 年 金 有A、B、C 、和D四 人 分 摊，A接 受 第 一 个n年，B接 受 第 二个n年，C 接受第三个 n 年，D接受所有剩余的。已知
9、： C与A的份额之比为0.49，求B与 D的份额之比。北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页版权所有，翻版必究解： 由题意知那么P VCP VAP VB=anpv2nanpanpvn13n= 0.49= 0.61P VD iv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100anp4.5%v41000 解得 n = 17列价值方程解得100a16p4.5%+Xv21 = 1000X = 146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货
10、币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解： 两年金现值相等，则 4 a 36pi= 5 18，可知 v18= 0.25由题意， (1 + i) n= 2 解得 n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算 k。解： 由题意可得方程100a60p1%= 6000(1 + i)k解得25.已知a 2pi= 1.75，求i。解： 由题意得解得k = 291 v2= 1.75ii = 9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利
11、率。解：北京大学数学科学学院金融数学系 第 5 页版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第 4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。解： 由题意可得价值方程10000 = 105Ka2p4%v3+Ka2p4% + 10000v10则 K = 1000010000v10105a2p4%v3+a2p4%v5 = 979.9428.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解： 选
12、取第一次还款日为比较日，有价值方程1P (1 + i)2= X + 2Xa4pi+ 2Xa5pj (1 + i)4所以P (1 + i)12X =1 + 2a4pi+ 2a5pj (1 + i)429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款 8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：P V = 4 400 + 4 600v5= 11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款 600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11
13、、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：P V = 1s4pia24piv3= (1 +i)24 1(1 + i)27(1 + i)4 1= a28 pa4ps3p+ s1p北京大学数学科学学院金融数学系 第 6 页版权所有，翻版必究33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解： 设年实利率为i，则 (1 + 2%) 2= 1 + i。有题意得750i +750s20pii=Ra30pi解得 R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知解
14、得 i = 20%1is3pi= 1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R 。解： 由题意得解得 R = 1.9520 = 1d = Ra2pi i36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)解： 设贴现率为d，则1 +i 2= 1(1 d)12设递延时间为t，由题意得10000 = 2 500vt(2)p1解得 t = ln 20 + ln(1 (1 d)2)ln(1 d)37. 计算：3a (2)np = 2a(2)2np = 45s(2)1p ，计算 i 。解： i i3 anpi=
15、2anpi = 45 is1pi解得：v n=1 , i = 1i(2)。i2 i22 30北京大学数学科学学院金融数学系 第 7 页版权所有，翻版必究38.已 知i (4)= 16%。计 算 以 下 期 初 年 金 的 现 值：现 在 开 始 每4个 月 付 款1元，共12年。（问题）解：39.已知：t = 1+1t。求 np 的表达式。解：np=n0e R0t sdsdt= ln(1 + n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为 10vtdt = 1 e第二种年金的现值为et，则所以 t = 1 +1lni1 e = et41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为i。因 a(t) = et，则 e 14 = (1 + i) 所以1 v80P V = 10080pi = 100(1 + i) i = 4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以 2400元
