《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 12空间的平行与垂直空间的平行与垂直 1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适 中； 2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等 3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性 问题，以大题形式呈现 1点、线、面的位置关系 (1)平面的基本性质 名称图形文字语言符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线在此平 面内 Al Bl A B l 公理 2 过不在一条直线上的三点有且 只有一个平面 若 A、 B、 C 三点不共线，
2、则 A、B、C 在同一平面 内且是唯一的 公理 3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线. 平面与不重合，若 P ，且 P，则 a，且 Pa (2)平行公理、等角定理 公理 4：若 ac，bc，则 ab. 等角定理：若 OAO1A1，OBO1B1，则AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180. 2直线、平面的平行与垂直 定理名称文字语言图形语言符号语言 2 线 面 平 行 的 判 定 定 理 平面外一条直线与平面内的 一条直线平行， 则这条直线与 此平面平行 a b ab a 线 面 平 行 的 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行， 则 过这条直线的
3、任何一个平面 与此平面的交线与该直线平 行 a，a， b，ab 面 面 平 行 的 判 定 定 理 如果一个平面内有两条相交 的直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行 a，b，ab P，a，b 面 面 平 行 的 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第 三个平面相交， 那么它们的交 线平行 且a 且 bab 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直， 则该直线 与此平面垂直 a，b，ab A，la，lbl 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 垂直于同一平面的两条直线 平行 a，bab 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的垂 线
4、，则这两个平面垂直 a，a， 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 两个平面垂直， 则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个 平面垂直 ，b， a，bab 3 3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面 积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进 行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础. 【误区警示】 1应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件 2作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有
5、 关定理作图注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化 3若 a、b、c 代表直线或平面，代表平行或垂直，在形如 ab ac bc 的命题中，要切实弄清有哪 些是成立的，有哪些是不成立的例如 a、b、c 中有两个为平面，一条为直线，命题 a a 是成立 的. a a 是不成立的 高频考点一高频考点一空间中点、线、面的位置空间中点、线、面的位置 例 1(2019高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则() ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，
6、且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 【举一反三】已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是() A若，垂直于同一平面，则与平行 B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【变式探究】已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是() 4 A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n 【举一反三】已知两个平面相互垂直，下列命题中， 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面
7、内的任意一条直线； 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是() A3B2 C1D0 高频考点二高频考点二空间中平行的判定与垂直空间中平行的判定与垂直 例 2 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示 四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.
8、【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BC CD1 2AD，E 为 AD 的中点(1)求证：PACD. (2)求证：平面 PBD平面 PAB. 【变式探究】如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的点 5 (1)当A1D1 D1C1等于何值时，BC 1平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求AD DC的值 【变式探究】 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 ACBC， BCCC1.设 AB1的中点为 D， B1CBC1 E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C
9、； (2)BC1AB1. 高频考点三高频考点三平面图形的折叠问题平面图形的折叠问题 例 3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC 沿 AC 折起到PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图所示，点 E，F 分别为棱 PC， CD 的中点 (1)求证：平面 OEF平面 PAD； (2)求证：CD平面 POF； (3)若 AD3，CD4，AB5，求三棱锥 ECFO 的体积 【举一反三】如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD 2，ABBC 1 2ADa，E 是 AD 的中 点，O 是 AC 与 BE 的交
10、点，将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE. 6 (1)证明：CD平面 A1OC； (2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值 【变式探究】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF， EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置 (1)证明：ACHD； (2)若 AB5，AC6，AE5 4，OD2 2，求五棱锥 DABCFE 的体积 【方法技巧】 平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前
11、后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变 量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 【变式探究】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G， R 分别在线段 DH，HB 上，且DG GH BR RH.将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示 7 (1)求证：GR平面 PEF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径
12、1(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是() A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 2 (2019高考全国卷)如图， 点 N 为正方形 ABCD 的中心， ECD 为正三角形， 平面 ECD平面 ABCD， M 是线段 ED 的中点，则() ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 1(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1
13、 所成角的余弦值为() A1 5 B 5 6 8 C 5 5 D 2 2 2. （2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120， A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2 （）证明：AB1平面 A1B1C1； （）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 3. （2018 年北京卷）如图，在三棱柱 ABC-中，平面 ABC，D，E，F，G 分别为，AC， ，的中点，AB=BC=，AC=2 （）求证：AC平面 BEF； （）求二面角 B-CD-C1的余弦值； （）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交 4. （
14、2018 年江苏卷）在平行六面体中， 求证： （1）； 9 （2） 1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是() ABCD 2(2017山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 3.【2017 江苏，15】 如图，
15、在三棱锥 A-BCD 中，ABAD， BCBD， 平面 ABD平面 BCD， 点 E， F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证： （1）EF平面 ABC； （2）ADAC. (第 15 题) A D B C E F 10 专题专题 12空间的平行与垂直空间的平行与垂直 1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适 中； 2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等 3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性 问题，以大题形式呈现
16、1点、线、面的位置关系 (1)平面的基本性质 名称图形文字语言符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线在此平 面内 Al Bl A B l 公理 2 过不在一条直线上的三点有且 只有一个平面 若 A、 B、 C 三点不共线， 则 A、B、C 在同一平面 内且是唯一的 公理 3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线. 平面与不重合，若 P ，且 P，则 a，且 Pa (2)平行公理、等角定理 公理 4：若 ac，bc，则 ab. 等角定理：若 OAO1A1，OBO1B1，则AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180. 2直线、平面的平行与垂直 定理名称文字语言图形语言符号语言 11 线 面 平 行 的 判 定 定 理 平面外一条直线与平面内的 一条直线平行， 则这条直线与 此平面平行 a b ab a 线 面 平 行 的 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行， 则 过这条直线的任何一个平面 与此平面的交线与该直线平 行 a，a， b，ab 面 面 平 行 的 判 定 定 理 如果一个平面内
