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1、人教A版必修5第一章解三角形综合测试题一、单选题1在中，则（ ）ABCD2的内角，的对边分别为，则角等于（ ）A30B30或150C60D60或1203在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=，B=，a=6，则b=（ ）A3BC6D24在中，则（ ）A5B6C7D85在中，分别是内角，的对边，则角的大小为（ ）ABCD6在中，内角，的对边分别为，若，则等于（ ）.AB4CD7在中，角，的对边分别为，若，则的长为（ ）ABCD18在中，则的长为（ ）ABCD59在中，则A为（ ）A或BC或D10设的内角的对边分别为，且，则是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直
2、角三角形11在中，则的最大值为（ ）ABCD12克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）A30B45C60D90二、填空题13已知在中，是的中点，则的面积为_14已知、分别是的三个内角、的对边，且，则_.15已知锐角三角形的内角，的对边分别为，且，则的取值范围为_16中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举
3、行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_（米/秒）三、解答题17在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为，求a、b的值18在中，内角所对的边分别为，已知（1）求角；（2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.19已知向量，其中A是的内角.（1）求角A的大小；（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.20已知在中，三边分别对应三个
4、内角；且（1）求角的大小；（2）当在外接圆半径时，求面积的最大值，并判断此时的形状.21设的内角，的对边分别为，已知.（）求角；（）若，求角，.22已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的值域；（2）在中，内角，所对应的边长分别为，若，的面积为，求的值.参考答案1A【分析】先利用正弦定理解得，然后根据同角三角函数的关系求出.【详解】由正弦定理得：，又，所以或，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，解答时注意角范围的确定，注意，易错选C或D.2A【分析】根据等腰三角形的性质求得.【详解】由于，等腰对等角，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查等腰三角形的性质，属于基础题.3D【
5、分析】利用正弦定理可以直接求解.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.4A【分析】先建立方程，再求解即可.【详解】由正弦定理知故选：A【点睛】本题考查正弦定理，是基础题5A【分析】由可得，再利用余弦定理即可得，从而可得角.【详解】由可得，由余弦定理可得：，因为，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.6D【分析】由已知结合正弦定理可得，的关系，然后结合余弦定理可求.【详解】解：若，由正弦定理可得：，可设，由余弦定理可得，.故选：D.7C【分析】利用余弦定理列方程求解.【详解】由余弦定理，得，即，解得.故选C.【方法点睛】 已知两边
6、及一角解三角形：已知两边夹角用余弦定理求出第三边,解唯一；两边对一角，可用正弦定理求另一边的对角，也可用余弦定理列方程求出第三边，可无解，可一解，可两解.8A【分析】利用正弦定理即可得到答案.【详解】，.故选：A.9C【分析】由正弦定理可得，即可得解.【详解】由正弦定理可得，则有，又，则或.故选：C.10D【分析】先由降幂公式得，再由正弦定理得，众而得，于是有或，从而可得结论【详解】解：因为，所以，所以由正弦定理得，所以，因为所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形故选：D【点睛】此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题11B【分析】将表示为角的形式，结合三角函数最
7、值的求法，求得的最大值.【详解】有正弦定理得，所以，所以.其中，由于，所以，故当时，的最大值为.故选：B【点睛】要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.12C【分析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.【详解】因为，且为等边三角形，所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设，所以，所以解得，所以，所以，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.13【分析】首先在中，利用正弦定理求，
8、再求，最后根据面积公式求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故， 所以，由为的中点所以故答案为：14【分析】根据正弦定理，由题意得到，推出，化简整理，求出，即可得出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，则，则，即，则，所以，则，因为为三角形内角，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式，属于基础题型.15【分析】由正弦定理化边为角可得，得出，再由三角形是锐角三角形得，化简，利用三角函数的性质即可得出.【详解】依题意，由正弦定理得，由于三角形是锐角三角形，所以.由，可得，所以，由于，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查解三角形和三角函数性质的应用，
9、解题的关键是利用正弦定理得出，再得出，将化为利用三角函数性质求解.16【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案【详解】如图所示，依题意知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530，由正弦定理知 ，ACsin4520（米），在RtABC中，ABACsinACB2010（米），国歌长度约为46秒，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）故答案为：【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决17（1）；（2），或，【分析】（1）利用余弦定理结合，即可求角C；（2）利用面积公式可
10、以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值【详解】（1）由余弦定理有，因为，可得；（2）由题意有，可得，由余弦定理得：，将， 代入可得：，可得，所以，所以，由，解得或故，或，18（1）；（2）.【分析】（1）由条件、三角形的内角和、三角函数的和差公式和正弦定理可化得答案；（2）由正弦定理求出，然后可得，然后结合余弦定理可得，然后可得答案.【详解】（1）由和得即，所以即，因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以（2）因为的外接圆半径为，所以，所以，由余弦定理得所以，得，所以的面积19（1）；（2）.【分析】（1）由和三角恒等变换可得答案；（2）由和可得，然后由正弦定理可得，
11、然后利用三角函数的知识可得答案.【详解】（1）因为，即有，（），（），又A为的内角，所以；（2）由，得为钝角，从而由正弦定理，得所以，则又，所以，则20（1）（2）是等边三角形，面积最大值为【分析】（1）根据题中条件，由余弦定理，求出，进而可得角；（2）根据正弦定理，由题中条件，求出，再由题中条件，利用基本不等式，求出最大值，进而可得三角形面积的最大值，以及判断三角形的形状.【详解】（1），即，由余弦定理可得：，又角为的内角，所以，因此；（2）因为外接圆半径，所以由正弦定理可得：，则；所以，则，当且仅当时等号成立，的面积.即的面积的最大值是，当且仅当时等号成立；因此，此时是等边三角形.【点睛】
12、方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21（）；（），.【分析】（）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程可得，结合，可求的值（）由余弦定理得，可求的值，得，又，得，联立解得，可得，再求出角，的值【详解】（）因为，所以，解得，因为，所以；（）因为，所以由余弦定理得，得，又，得，将代入得：，即，而，解得，所以，故，得是直角三角形，且角是直角，所以，.【点睛】关键点点睛：关键需要利用余弦定理及条件解方程组得出的关系，利用勾股定理即可证明三角形为直角三角形，求出
13、角，属于中档题.22（1）；值域为；（2）4.【分析】（1）由周期求得，利用诱导公式和两角差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得值域；（2）由求得，再由三角形面积得，然后由余弦定理可求得【详解】解：（1）因为函数的最小正周期为，由，又因为所以.此时，则得，即，即当时，所以所求函数的值域为.（2）由题意得因为则得，所以，解得因为的面积为，则得，即，即.又因为，由余弦定理，得所以.【点睛】方法点睛：本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是形式），然后利用正弦函数性质确定求解
