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1、第二章高斯噪声背景下谐波恢复数学模型 2.1 高斯过程 高斯过程又称正态随机过程,它是一种普遍存在和重要的随机过程.所谓高斯过程)(t, 即指它的任意n维概率密度函数由下式表示的过程, 即 n j n k k kk j jj jk n n nn ax ax B B B ttxxxf 11 2/1 21 2/ 121 2 1 exp )2( 1 ),;,( 式中 ;)(;)( 2 2 kkkkk atEtEa |B|-归一化协方差矩阵的行列式,即 1 1 1 21 221 112 nn n n bb bb bb B jk B- 行列式 |B|中元素 jk b的代数余因子; jk b-归一化协方差
2、函数: kj kkjj jk atatE b )()( 由上式可以看出,正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望,方差和协方差决 定. 一维高斯正态分布的概率密度函数可写为: 2 2 2 )( exp 2 1 )( ax xf 式中 ,a及是两个常量 (均值和方差 ). 高斯噪声一般分为白噪声和有色噪声。 功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，被称之为白噪声，即 2 )( 0 n P 白噪声的自相关函数为)( 2 )( 0 n R 显见，白噪声的自相关函数仅在0时才不为零； 这说明，白噪声只有在零点才相关， 而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。 有色噪声与白噪声不同，它的功率
3、谱在整个频段上不是均匀分布的。 22 谐波恢复的数学模型 高斯噪声背景下的谐波恢复，主要是利用特征子空间分析的方法，对观测值进行处理 从而估计出原始信号的频率等参量特征，即完成了在噪声背景下对信号的恢复。 我们首先对特征子空间进行分析。从几何意义上说 协方差几何空间=信号子空间 +噪声子空间 我们所要做的就是从大的空间抽取低秩子空间，对信号进行分解处理。下面将要介绍的 Pisarenko,MUSIC,Prony,ESPRIT 等方法其核心思想都是由此而来的。设观测信号模型： y(n)=x(n)+w(n) p i nwj i ii enx 1 )( )( 其中， i 为信号幅度 i w为谐波信号
4、频率 i 为相位在,均匀分布的参量 p 为谐波个数 w(n)为零均值方差为 2 的高斯白噪声 构造mm协方差矩阵 )0()()1( )2()0()1( )1()1()0( yyy yyy yyy RMRMR MRRR MRRR R 设 R=S+W ：S表示信号协方差矩阵，W 表示噪声协方差矩阵。 H ii p i i ssS 2 1 其中： )1(exp( )exp( 1 i i i Mj j s 2 2 2 2 0 0 IW 下面我们对协方差矩阵R 进行分析： R=S+W H ii p i i ssS 2 1 首先我们来说明R 为什么等于S+W. y(n)的自相关函数 )()exp( )()
5、()(exp )()exp()(exp )()()(exp()exp( )()(exp()()exp( )()( )( 2 2 1 2 11 * 2 11 * * 11 * 11 * mmj milmjjn mEmjjn mnwnwEmnjnjE mnwmnjnnjE mnynyE mr i p i i p l lill p i i il p l lill p i i p l lll p i iii p l lll p i iii y 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 0 1)2(exp()1(exp( )1(exp(1)exp()2exp( )exp(1)exp( )1(exp
6、()exp(1 )1(exp()exp(1 )1(exp( )exp( 1 ii iii ii ii p i i p i ii i i i p i H iii MjMj Mjjj jMj Mjj IMjj Mj j Iss WS 对应 矩 阵各项可知R=S+W. 现在对矩阵R 进行分析： (1)设 ii v,分别是矩阵S 的特征值和特征向量，则 ii vSvi=1M H ii p i i vvS 1 讨论：因为Mp ，信号阵的秩必为p。所以 S阵有 p 个非零特征值（i=1p） ,M-p 个零特征 值（ i=p+1M ） 。 (2)W= 2 I 由于 M i H iiv vI 1 所以 M i
7、 H iiv vW 1 2 p i M pi H ii H iii p i M i H ii H iii vvvv vvvvR 11 22 11 2 )( 讨论： （1）R 阵与 S 阵具有相同的特征向量 i v，且 ji ji vv ji 0 1 （2）pivi i 1),(是信号特征对 Mpivi i 1),(是噪声特征对 分别记： , , 1 1 Mp ps vvG vvV 由信号向量张成的子空间叫做信号子空间，而有噪声向量张成的子空间叫做噪声 子空间。 （3）矩阵 R 的特征值 Mpi pi i i 1 1 2 2 由以上结论我们可以看出，信号向量和噪声子空间中的所有向量（包括它们的线
8、性组合）是 正交的。即 M pk kk H i vs 1 0)( 由于此结论十分重要我们在此进行证明。 2 2 2 2 1 21 1 11 11 2 0 0 , 0 p p p i p H iiip p i p i H iii H iii B sssE vvvSv ssvvS )exp( )exp( 1 i i i jp j s p i H iii H p H H p p H ss s s s ss EBES 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 0 0 , 0)()( 0 0 11 11 11 p HH p H p HH p p H p vEBvE vEBEv vEBESv 0 1p H
9、vE B是正定的 展开上式即有 0s 1 H ip v 证毕； 利用信号向量和噪声空间的正交性进行信号恢复的方法称之为噪声子空间方法。 第三章算法概述与分析 定义观测信号的空间协方差矩阵为 R=Ey(n)y H (n) (3.1) 设噪声方差为 2 ，由假设得 R=EAs(n)+w(n)As(n)+w(n) H =E As(n)+w(n)As(n) H + w H (n) =E As(n)+w(n)s H (n) A H+ w H (n) =E As(n) s H (n) A H + w(n) s H (n) A H + As(n) w H (n)+ w(n) w H (n) =EAs(n)
10、s H (n) A H+Ew(n) s H (n) A H+ EAs(n) w H (n) +Ew(n) w H (n) =ASA H+2 IM (3.2) 其中， S=Es(n) s H (n) ， I M 为单位阵。 注意到 (3.1)式表达的是观测信号的“统计平均”。我们认为通信中的随机过程是平稳随 机过程， 而平稳随机过程具有各态历经性，所以在这里， 我们可以用观测信号的“时间平均” 来代替“统计平均” ，即 )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()( )()( 21 22212 12111 nynynynynyny nynynynynyny nyny
11、nynynyny E nynyER MMMM M M H )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()( 21 22212 12111 nynyEnynyEnynyE nynyEnynyEnynyE nynyEnynyEnynyE MMMM M M )0()0()0( )0()0()0( )0()0()0( 21 22221 11211 MMMM M M RRR RRR RRR R 中各元素的估计为： N n H jiij nyny N R 1 )()( 1 )0( 故可得 R 的估计为 N n H nn N 1 )()( 1 yRy(3.3) 3.1 Pisar
12、enko谐波分解法 在 Pisarenko 谐波分解法中，考虑的是由p 个实正弦组成的确定性过程 )2sin()( 1 ii p i i nfAnx(3.1.1) 我们假定，初始相位 i 是在),(均匀分布的独立随机变量，它在一次实现中为常量。 先来推导过程 x(n) 满足的差分方程。为此，先来考虑单个正弦波的情况，即 )2sin()(fnnx. 将三角恒等式 )1(2sin)2cos(2)2(2sin)2sin(nffnffn 中的正弦函数换乘x(n)后，得到二阶差分方程式0)2()1()2cos(2)(nxnxfnx 上式两边去z 变换，得 0)()2cos(21 21 zXzzf 这样，
13、我们就得到特征多项式 0)2cos(21 21 zzf 它有一对共轭负根即 fj efjfz 2 )2sin()2cos( 共轭根的模为1，即1| 21 zz，由它们可决定正弦频率2/)Re(/ )arctanIm( iii zzf 通常我们取正的频率。显然， 如果 p 个实正弦波没有重复频率的话，则着 p 个频率也应由特 征多项式 0)( 2 2 01 *kp p k k p i ii zazzzz 或0 2 2 0 kp p k kz a(3.1.2) 的根决定。易知，1| i z，且系数 k a是对称的，即 )0( 2 pkaa kpk (3.1.3) 与式 (3.1.2)对应的差分方程
14、为 0)()( 2 1 inxanx p i i (3.1.4) 进一步的，我们来考虑白噪声中的正弦波过程： y(n)=x(n)+w(n) (3.1.5) 其中 w(n) 是一零均值、方差为 2 w的高斯白噪声，即 w(n)WN(0, 2 w)。 将式 (3.1.5)代入式 (3.1.4)，立即可得 )()()()( 2 1 2 1 inwanwinyany p i i p i i （3.1.6） 这表明白噪声中的正弦波过程y(n) 是一个特殊的ARMA(2p,2p) 过程，其 AR 参数与 MA 参 数相同。 为了推导 AR 参数满足的方程，令 T T p T pnwnwnww aaa pn
15、ynynyy )2(,),1(),( , 1 )2(,),1(),( 21 (3.1.7) 于是式 (3.1.6)可以写成一下矩阵形式： away TT (3.1.8) 用向量 y 左乘式 (3.1.8)两边，并取数学期望得到 aywEayyE TT (3.1.9) 若)()()(lnynyElRy ，则显知， IwwEwwxEywE R RpRpR pRRR pRRR yyE w TTT y yyy yyy yyy T 2 )( )0() 12()2( ) 12()0()1( )2() 1()0( 将上述关系代入式(3.1.9),得特征方程 aaR wy 2 (3.1.10) 式(3.1.1
16、0)表明， 2 w是自相关矩阵y R的特征值，而 a 是对应特征值 2 w的特征向量。 式(3.1.10) 组成了由Pisarenko 发展的谐波分解方法的基础。这样一来，谐波恢复问题就转化成了自相 关矩阵 y R的特征分解。 归纳起来，利用Pisarenko 分解法确定阶数p 和正弦波频率f 的步骤如下。 (1)计算矩阵 )0()12()2( )12()0()1( )2()1()0( yyy yyy yyy RpRpR pRRR pRRR R (m2p) 的特征分解。 （2）求矩阵R 最小特征值，即为 0，并用 表示 0的多重度。然后将 R 将结为m+1-, 即取前m+1-行和列组成新矩阵R1,重复这一步直至从某一阶降至下一阶，最小特征值不 变。这样，即可定出p，与最小特征值对应的特征向量各分量用 p aaa 210 ,表示。 （3）求多项式的根，有0 2 210 p pz azaa （4）将上式的根记为 * 22 *
