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1、第 十 一 章反 常 积 分 1反常积分概念一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分 区间的有穷 性和被积函 数的有 界性 .但在很多实际问题中往往需要 突破这些限制, 考虑无 穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0至少要多大?设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律 , 在距地心 x( R) 处火箭所受的引力为2mg RF =.x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( R) 处需作的功为
2、rmg R 2d x=21mg R-1.Rx2Rr当 r +时, 其极限 mg R 就是火箭无限远离地球需作的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为+ 的“积分”:图 11 -1+ 2mg Rd x=limr2mgRRx2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度1r + Rd x=mg R .x2v0至少应使2用 g = 9.81(2m6s/ ) ,R = 6 .3712 mv 0=mg R .106 ( m) 代入, 便得v0=2 g R 11 .2( km6s/).例2圆柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为r 的小孔 ( 图11 - 2). 试问从盛满水开始打
3、开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间? 1反常积分概念265从物理学知道, 在不计摩擦力的情形下, 当桶 内水位 高度为 ( h - x ) 时, 水从孔中流出的流速( 单位时间内流过 单位截面积的流量) 为v=2 g( h -x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时间d t 内, 桶中液面降低的微小量为d x , 它们之间应满足图 11 -2R2 d x=v r2 d t,由此则有Rd t =2d x , x 20 , h. r2g( h -x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:htf=02Rr22 g( h -x)d x .但是在这里因为被积函数是0 , h) 上
4、的无界函数, 所以它的确切含义应该是u2Rtf=lim 2d xu h -0r2 g( h -x)=lim-22 Rgr2h -h -uu h=2 hR2 .gr相对于以前所讲的定积分( 不妨 称之为正常 积分) 而言, 例1 和例 2 分别提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1设函数 f 定义在无穷区间 a, + ) 上, 且在任 何有限区间 a , u上可积 .如果存在极限limf ( ux) d x=J,(1 )u + a则称此极限J 为函数 f 在 a, + ) 上的无穷限反常积分( 简称无穷积分) , 记作+ J=f (x) d x ,( 1)a+ + 并称f ( x
5、) d x 收敛 . 如果极限(1)不存在, 为方便起见, 亦称f ( x) d x aa发散 .类似地 , 可定义 f 在( - , b 上的无穷积分:266第十一章反 常 积分 fb( x )d x=lim f ( bx) d x.(2 )- u - u对于 f 在( - , + ) 上的无穷积分, 它用前面两种无穷积分来定义:+ af ( x ) d x =- -f ( x) d x + f ( x) d x ,(3)a其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值, 都和实数a 的选取无关.注2 由于无穷积分( 3)
6、 是由(1 ) 、(2) 两类无 穷积分来 定义的, 因此 , f 在任 何有限区间 v , u ( - , + ) 上, 首先必须是可积的. + 注3f ( x ) d x 收敛的几何意义是: 若 f 在a a , + ) 上为非负连续函数, 则图11 -3 中介于曲线y = f ( x) ,直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积 J .例 3讨论无穷积分图 11 -3+的收敛性 .解 由于d x1xp(4) ud x1xp=11 -p( u1 - p-1) ,p 1 ,lnu ,p =1,limud x = u + 1p x1p -1 ,p 1+ p 1 ,1
7、因此无穷积分(4 ) 当 p 1 时收敛 , 其值为; 而当 p1 时发散于+ .p -1从图 11 - 4 看到, 例3 的结论是 很直观 的: p1的值越大, 曲线 y =当 x 1 时越靠近x 轴, 从p x而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也就越大 .例 4讨论下列无穷积分的收敛性:1)+ d x2x( lnx) p ;2)+ d x- 1 +x2.解 1 ) 由于无穷积分是通过变限定积分的 极限来 定义的, 因此有关定积分的换元积分法和图 11 -4 1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说 , 就有+ d x+ d tt2x (lnx ) p=l
8、n 2p.从例 3 知道 , 该无穷积分当p 1 时收敛 , 当 p 1时发散.2) 任取实数a, 讨论如下两个无穷积分:da x+ d x- 1 +x由于2和 a2.1 +xad xlim=lim( arctan a - arctan u )u - u1 +x2u - v,=arctan a +2d xlim=lim( arctan v- arctan a)v + a1 +2xv + =-arctan a ,2因此这两个无穷积分都收敛.由定义 1 ,+ d xad x+ d x- 1 +x 2=- 2+a1 +x1 +x2= .注 由于上述结果与a 无关, 因此若取a = 0 , 则可使计算
9、过程更简洁些.定义2 设函数f 定义在区间 ( a , b上, 在点 a 的任一右 邻域内无 界, 但在 任何内闭区间 u , b ( a , b上有界且可积.如果存在极限limf (bx ) d x=J ,(5)u a+ u则称此极限为无界函数f 在( a , b上的反常积分 , 记作bJ =f (x) d x ,( 5)ab并称反常积分f ( x) d x 收敛. 如果极限( 5)不存在,这时也说反常积分abf ( x ) d x 发散 .a在定义 2 中, 被积函数f 在点a 近旁是无界的, 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无b界函数反常积分f ( x ) d x 又称为瑕积分.a类
10、似地 , 可定义瑕点为b 时的瑕积分 :buf ( x)dx=limf ( x )d x. au b -a其中 f 在 a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无界, 但在任何 a , u a , b)268第十一章反 常 积分上可积 .若 f 的瑕点 c ( a , b) ,则定义瑕积分bcb f (x) d x = f (x) d x + f ( x )d xaacub=limf (x) d x +lim f (x) d x.(6 ) u c - av c+v其中 f 在 a , c) ( c, b 上有定义 , 在点 c 的任一领 域内无界, 但在任何 a , u a , c) 和 v , b ( c, b 上都可积.当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的.又若 a、b两点都是f 的瑕点 , 而 f 在任何 u , v ( a, b) 上可积 , 这时定义瑕积分bcb f ( x ) d x = f (ax )d xa+ f (x) d xc
