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1、数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。定理1.1.2 有理数集Q是可列集Descartes乘积集合2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。基本初等函数Dirichlet函数，任何有理数都是其周期。定义1.2.7 算术平均值：，几何平均值，调和平均值第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理2.1.1(确界存在定理实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。2.数列与数列极限数列极限的形式(1)唯
2、一性 定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一(2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界(3)数列的保序性定理2.2.3 设数列均收敛，若，且，则存在正整数，当是，成立四则运算只能推广到有限个数列的情况3. 无穷大量4. 收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集是不可列集。定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass定理)有界数列必有收敛子列。定理 2.4.6 若是一个无界数列，则存在子列使得。定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列收敛的充要条件是是基本
3、数列。由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。确界存在定理单调有界数列收敛定理闭区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Cauchy收敛原理这五个定理是等价的，这五个定理每个都是实数系的基本定理。第三章 函数极限与连续函数1.函数极限的定义函数极限的性质：（1） 唯一性（2） 局部保序性（3） 夹逼性 2.连续函数第一类不连续点（跳跃点）：左右极限都存在但不相等。第二类不连续点：左右极限至少有一个不存在。第三类不连续点（可去点）：左右极限都存在但是与他们不相等或在处
4、无定义Eg:Riemann函数在任意点的极限存在，且为0.。换而言之，一切无理点是的连续点，一切有理点是的第三类不连续点。区间（a,b）上的单调函数的不连续点必为第一类不连续点。定理3.2.4 一切初等函数在其定义区间上连续。3.无穷小量与无穷大量一些等价量计算中无穷小量出现加减的时候不能贸然使用等价量进行替换。5. 闭区间上的连续函数定理3.4.1（有界性定理） 若函数在闭区间上连续则它在上有界。用闭区间套定理证明。开区间上的连续函数不一定是有界的。定理3.4.2（最值定理）若函数在闭区间上连续则它在上必能取到最大值与最小值。用3.4.1+Bolzano-Weirrstrass定理证明定理3
5、.4.3（零点存在定理）若函数在闭区间上连续，且，则一定存在，使得定理3.4.4（中间值定理）若函数在闭区间上连续，则它一定能取到最大值何最小值之间的任何一个值。直接用零点存在定理证明。一致连续概念定理3.4.6（Cantor定理）若函数在闭区间上连续，则它在上一致连续。用Bolzano-Weierstrass定理证明定理3.4.7 函数在有限开区间连续，则在上一致连续的充要条件是与存在。第四章 微分1.微分和导数可微一定连续定理4.1.1 可微充要条件是可导。2.导数的意义和性质导数的四则运算例函数组合导函数对数求导法隐函数求导倒数：参数方程：5.高阶导数和高阶微分例 复合函数二阶导： 对于
6、含参数的函数：第五章 微分中值定理及其应用1.微分中值定理 2.Lagrange中值定理2.LHospital法则注意：才能只用洛必达法则，只用之前必须验证；洛必达法则失效时极限不一定不存在。3.Taylor公式和插值多项式4.函数的Taylor公式及其应用在处的Taylor公式又称为的Maclaurin公式渐近线5.Taylpr公式的应用第六章 不定积分3.有理函数的不定积分及其应用（1） 多项式分母分解（2） 根号分解（3） 三角函数第七章 定积分1.定积分的概念和可积条件Dirichlet函数是黎曼不可积的引理7.1.1 若在原有划分中加入分店形成新的划分，则大和不增，小和不减。Dabo
7、ux大和、小和推论1 闭区间上的连续函数必定可积推论2 闭区间上的单调函数必定可积推论3 闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积2.定积分的基本性质（1）线性性质（2）乘积可积性 设和都在上可积，则在（3）保序性 设和都在上可积，且在上恒有，则成立（4）绝对可积性 设在上可积，则在上也可积，且成立反之该性质是不成立的（5）区间可加性 设在上可积，则对任意点，在和上都可积；反过来，若在和上都可积，则在上可积。（6）积分第一中值定理 3.微积分基本定理-Newton-Leibniz公式定理7.3.5 设在对称区间上可积（1） 偶函数：（2） 奇函数定理7.3.6 设是以为周期的可积函数，则对
8、任意4.定积分在几何计算中的应用连续函数之间的求面积公式：极坐标的求面积公式：求曲线的弧长弧长的微分：普通形式：极坐标：三维空间上： 计算特殊几何体的体积普通几何体：旋转体：曲面面积： 曲率曲率：，如果曲线由表示，第八章 反常积分1.反常积分的概念和计算反常积分的敛散性等价于原函数极限的敛散性（1），（2）无穷区间上的反常函数与无界函数的反常积分是可以互相转换的。并不能让收敛，反之收敛也不能保证反常积分的线性性质、保序性、区间可加性成立，但乘积可积性却不再成立。2.反常积分的Cauchy收敛原理定理8.2.3（Cauchy判别法）设在上恒有，是正常数（1） 若，且，则收敛；（2） 若，且，则发
9、散。下册第九章 数项级数1.数项级数的收敛性性质：（1）线性性（2）对于收敛级数，在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，其和不变，可以理解为满足加法结合律。发簪的级数不满足加法结合律。2上极限与下极限定理9.2.2 设是有界数列，则收敛的充要条件是上下极限相等3.正项级数：各项都是非负实数定理9.3.1（正项级数的收敛原理） 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。dAlembert判别法比Cauchy判别法更强，能用Cauchy判别法判定的未必能用dAlbembert判别法判定。反例：Cauchy判别法与dAlembert判别法的本质比较判别法，与之相比较的是几何级数4.
10、任意项级数定理9.4.2（Leibniz判别法）Leibniz级数必定收敛。交错级数的Leibniz判别法可以看成是Dirichlet判别法的特例。Abel判别法也可以看成Dirichlet判别法的特例。对于正方形排列所得的乘积，只要与收敛，总是收敛的，并成立，但是并不保证Cauchy乘积收敛性6. 无穷乘积（没看完）第十章 函数项目级数1.函数项级数的一致收敛性若有限个函数在上定义且具有某种分析性质（连续性，可导性，Riemann可积性），则它们的和函数保持相同的性质点态收敛的反例：点态收敛的反例：点态收敛的反例：一致收敛性点态收敛：对任意给定的，可以找到正整数，当时，成立：判别举例：2.一
11、致收敛级数的判别与性质 一致收敛性质（1） 连续性即极限和连续可以交换顺序由于连续性是函数的一种局部性质（逐点定义），因此在每个在开区间上连续的前提下，只要在区间上内闭一致收敛于，就足以证明在开区间上连续。（2） 可积性 即极限和积分可以交换位置（3） 可导性即求导运算可以与极限运算交换次序3.幂级数令幂级数的性质(Abel第一定理) 设，如果幂级数在点收敛，则当时幂级数绝对收敛；如果幂级数在点发散，则当时幂级数发散。（1） 和函数的连续性：幂级数在它的收敛域上连续（2） 逐项可积性：幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分第十一章 Euclid空间上的极限和连续1. Euclid空
12、间上的基本定理Euclid范数：紧集的概念2. 多元连续函数累次极限第十二章 多元函数的微分学1. 偏导数与全微分（1） 偏导数对于多元函数可偏导未必连续例子：（2） 方向导数可微必连续，可微必可偏导，同时得到全微分公式（3） 梯度（4） 全微分2. 多元复合函数的求导法则 一阶全微分的形式不变性全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的3. 中值定理和Taylor公式Taylor公式4. 隐函数5. 偏导数在几何中的应用空间曲线的切线和法平面a) 切方向：切向量：法平面：b)切向量：法平面：c)Jacobi矩阵满秩不同情况下法线和切平面的表示方法a)这里只考虑在上具有连续偏导数，且Jacobi函数在曲面上恒为满秩，即的情况切线：法向量：切平面：法线：b)法向量：切平面：法线：c)假设Jacobi矩阵在上为满秩切平面：切线： 6. 无条件极值计算函数在区域边界上的最值有时较为复杂，实际问题中可以分析问题性质，判定函数的最值在函数内部。此时，若偏导数在区域内处处存在，只要比较函数在驻点的值就能得到最值。特别地如果函数在区域内只有一个驻点，就可以断定是函数的最值点。*最小二乘法7. 条件极值问题与Lagrange乘数法（1） Lagrange乘数法条件极值问题：求目
