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1、第 一 章 常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.1.1命题 自主学习 新知突破 1了解命题的概念 2会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式 3会判断一些简单命题的真假 观察下列语句的特点： 求证： 2是无理数；x22x30； 你是高二的学生吗？x3； 今天天气真好啊！请把电脑打开； 7 能被 2 整除；若 x3，则 x29. 问题1哪几个语句是陈述句？ 提示1 问题2哪几个语句判断为真？ 提示2 问题3哪几个语句判断为假？ 提示3 命题的概念 判断一个语句是不是命题的依据 (1)并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命 题，关键在于能否判断真假一般地，疑问句、祈使句、感叹 句都不是
2、命题 (2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是命题 一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其 中命题中的p叫做命题的_，q叫做命题的_，也就是 说，命题由_和_两部分组成 命题的结构 条件结论 条件结论 对命题的结构形式的理解 任何一个命题都有条件和结论，尽管有些命题的条件不明 显，但都可以写成“若p，则q”的形式 1下列语句不是命题的是() A0不是自然数B52 C对顶角相等吗？D地球是太阳的一个行星 解析：A，B，D中语句都是命题，C中语句不是陈述 句，故不是命题 答案：C 2若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题是真命题 的是( ) Aa2abb2 Bac2bc2
3、C.1 a 1 b Db a a b 解析： 对于选项 A： 因为 ab0，所以 a0，b0， 所以 a2ab，abb2，所以 a2abb2. 对于选项 B：因为 cR，所以 c20. 当 c0 时，ac2bc2；当 c0 时，ac2bc2. 对于选项 C：因为 ab0， 所以 ab0，所以 a 1 abb 1 ab，所以 1 b 1 a. 对于选项 D：因为 ab0， 所以1 b 1 a0，所以 b a a b. 答案：A 3下列语句中是命题的有_ “垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；“一 个数不是正数就是负数”；“大角所对的边大于小角所对的 边”；“xy为有理数，则x，y也都是有理数
4、” 解析： 先根据命题的概念，判断所给语句是不是陈述句， 若是，再判断真假 疑问句 没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出 判断，不是命题；是假命题.0 既不是正数也不是负数；是假 命题没有指明是在同一个三角形中；是假命题如 x 3， y 3. 答案： 4判断下列命题的真假 (1)形如 a 6b 的数是无理数； (2)正项等差数列的公差大于零； (3)函数 y1 x的图象关于原点对称； (4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除 解析： (1)假命题反例：当 a2，b0 时，a 6b 为有 理数； (2) 假 命 题 反 例 ： 若 此 数 列 为 递 减 数 列 ， 如 数 列 20,1
5、7,14,11,8,5,2，它的公差是3； (3)真命题y1 x是奇函数，所以其图象关于(0,0)对称； (4)假命题反例：2,6 能被 2 整除，但不能被 4 整除. 合作探究 课堂互动 命题的判断 判断下列语句是不是命题，并说明理由 (1)一个实数不是正数就是负数； (2)这是一条大河； (3)今年北方还有大雪吗？ (4)作ABCABC； (5)0是集合0,1,2,3的元素 思路点拨判断一个语句是不是命题，就是看它是否符 合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件 解析： 题号是否为命题原因分析 (1)是命题是陈述句，并且可以判断真假 (2)不是命题 虽是陈述句，但无法判断其真假，故不是 命
6、题 (3)不是命题是疑问句，不是陈述句，因此不是命题 (4)不是命题是祈使句，不是陈述句，因此不是命题 (5)是命题是陈述句，并且可以判断真假 判断一个语句是不是命题，首先观察其句型 是否为陈述句，其次看它是否能判断真假 1判断下列语句是否为命题，并说明理由 (1)风景这边独好 (2)让我们尽情享受寒假吧！ (3)函数f(x)x3是R上的奇函数 (4)火星上有水 解析：(1)是陈述句，但不能判断真假，故不是命题 (2)是祈使句，故不是命题 (3)(4)是陈述句，能判断真假，是命题 答案：(3)(4) 命题真假的判断 判断下列命题的真假： (1)一个数的算术平方根一定是正数； (2)若直线l不在
7、平面内，则直线l与平面平行； (3)若G2ab，则a，G，b成等比数列； (4)当a1时，方程ax22x10有两个不等实根； (5)平行四边形的对角线互相平分 思路点拨 语句 能否判断真假 命题真假判断 (1)是假命题因为一个数的算术平方根为 非负数 (2)是假命题直线l与平面可以相交 (3)是假命题原因是当Ga0时，a，G，b不是等比数 列 (4)是假命题当a0时，方程ax22x10有一个实 根 (5)是真命题若一个四边形是平行四边形，则它的对角线 互相平分 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的 逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程
8、判断命题为真的 关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法 (2)假命题的判定方法 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题 为假命题的常用方法 另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断 2给出下列几个命题： (1)若x，y互为相反数，则xy0； (2)若ab，则a2b2； (3)若x3，则x2x60； (4)若a，b是无理数，则ab也是无理数 其中的真命题有_个 解析： (1)是真命题(2)设 a1b2，但 a23， 但 x2x6140， 假命题 (4)设 a( 2) 2， b 2，则 ab( 2)22 是有理数，假命题 答案：1 改写命题的结构形式 把下列命题写成“若p，
9、则q”的形式，并判断其真 假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形； (4)当acbc时，ab. 思路点拨本题所给的命题都不具备“若p，则q”的形 式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述 的完整性 (1)原命题可以写成：若一个数是实数，则 它的平方是非负数.2分 这个命题是真命题.3分 (2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三 角形是全等三角形.5分 这个命题是假命题.6分 (3)命题“对角线相等的平行四边形是矩形”，即“若一个 平行四边形的对角线相等，则该平行四边形是矩形”条件 p：一个平行四边
10、形的对角线相等，结论q：该平行四边形是矩 形.8分 真命题.9分 (4)若acbc，则ab，假命题.12分 将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原 则 3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题 的真假： (1)奇数不能被2整除； (2)当(a1)2(b1)20时，ab1； (3)两个相似三角形是全等三角形； (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行 解析：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命 题； (2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题； (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三 角形，是假命题 (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直 线平行，是假命题 判断下列命题的真假： (1)若 ab，则1 a0，即 1 ab0 时， 1 a 1 b； 当 ab0，即 1 ab 1 b； 当 a0 或 b0 时，1 a或 1 b无意义 (2)的易错点是方程的两根是 x1 或 x2，故命题为真 【正解】(1)假命题；(2)真命题.
