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1、立身以立学为先，立学以读书为本 数列通项公式的几种求法 注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为 n S与 n a的关系式 ( 或() nn Sf a （七） 、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用） （八） 、迭代法 （九） 、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 * 11 (1)() n aanddnad nN 1*1 1 () nn n a aa qqnN q 已知递推公式 二、累加法 )( 1 nfaa nn （1）f nd（2）fnn（3）2 n fn 立身以立学为先，立学以读书为本 例
2、1 已知数列 n a 满足 11 211 nn aana，求数列 n a的通项公式。 2 n an 例2 已 知 数 列 na满 足11 2313 n nn aaa， 求 数 列 na的 通 项 公 式 。 （31. n n an） 三、累乘法 nn anfa)( 1 （1）f nd（2）fnn， 1 n n ，2n 例 3 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa， ，求数列na的通项公式。 （ (1) 1 2 325!. n n n n an） 评注：本题解题的关键是把递推关系 1 2(1)5 n nn ana转化为 1 2(1)5 nn n a n a ， 进而求 出
3、 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa ，即得数列na的通项公式。 例4（20XX 年全国 I 第 15 题，原题是填空题） 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan，求 n a的通项公 式。 （ ! . 2 n n a） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 (1)(2) nn anan转化为 1 1(2) n n a nn a ， 进而求出 13 2 122 nn nn aaa a aaa ， 从而可得当2 n na时，的表达式，最后再求出数列na的 通项公式。 立身以立学为先，立学以读书为本 四、构造法qpaa nn 1 nfpa
4、a nn 1nnn qapaa 12 （其中 p，q 均为常数）。 （1）qpaa nn 1 （构造等比） 1nn atpatq 1nn qt atp a p qt t p 1 q t p 例5已知数列 n a满足 1 34 nn aa （2）nfpaa nn 1 1 . n nn apaq m （2.1）构造等比数列 11 1 nnn nn at mpaqmt m 1 1 1 nn n nn q mt m at mp a p 1 1 () n n nn qt mm at mp a p qtm t p q t pm （当pm时用构造成累加的形式求） 立身以立学为先，立学以读书为本 例6已 知
5、数 列 n a满 足 11 2356 n nn aaa， 求 数 列 n a的 通 项 公 式 。 （ 1 25 nn na） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 235 n nn aa转化为 1 1 52(5 ) nn nn aa， 从而可知数列5 n n a 是等比数列，进而求出数列 5 n n a 的通项公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 （2.2）够造成累加法 1 . n nn apaq m 1 11 n nn nnn aaqm ppp 1 11 n nn nnn aaqm ppp （回归到累加法） 例 7 已知数列 n a满足 11 32313 n nn aaa，求数列 n
6、 a的通项公式。 解： 1 3231 n nn aa两边除以 1 3 n ，得 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ，故 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 ()1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 11 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann ， 立身以立学为先，立学以读书为本 则 211
7、 33. 322 nn n an 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 3231 n nn aa转化为 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 进而求出 11223211 1122321 ()()()() 333333333 nnnnnn nnnnnn aaaaaa aaa ，即得数列 3 n n a 的通项公式，最后再求数列 na 的通项公式。 例 8 已知数列 n a满足 11 35241 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 （ 1 133522 nn n a） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 3524 n nn aa 转化为 1 1 5223(522) nn
8、 nn aa，从而可知数列522 n n a是等比数列，进而求 出数列522 n n a的通项公式，最后再求数列 n a的通项公式。 例 9 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna， ，求数列na的通项公式。 （ 42 231018 n n ann） 评注：本题解题的关键是把递推关系式 2 1 2345 nn aann转化为 22 1 3(1)10(1)182(31018) nn annann ， （设 22 2 1 11211345 nn ap nq nfap nq nfnn） 2 1 11 n ap nq nf= 2 3245 2 222 n ppqpqf ann 3
9、 2 p p， 24 2 pq q， 5 2 pqf f） 从而可知数列 2 31018 n ann是等比数列， 进而求出数列 2 31018 n ann的通项 公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 立身以立学为先，立学以读书为本 五、倒数法 1 n n n ka a paq 例 10 已知数列 n a满足 1 21 n n n a a a ， 例 11 已知数列 na满足1 2 21 n n n a a a 六、递推公式为 n S与 n a的关系式 (或()nnSf a) 解法：这种类型一般利用 )2( ) 1( 1 1 nSS nS a nn n 例 10 已知数列 n a前 n 项和
10、 2 2 1 4 n nn aS.（1）求 1n a与 n a的关系；（2）求通项公 式 n a. 七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用） 例 10 已知数列 na满足 5 1 2 3 n nn aa， 1 7a，求数列na的通项公式。 解：因为 5 11 237 n nn aaa，所以 1 00 nn aa，。在 5 1 2 3 n nn aa式两边取 常用对数得 1 lg5lglg3lg 2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny11 立身以立学为先，立学以读书为本 将式代入 11 式，得5lglg 3lg 2(1)5(lg nn anx nyaxny，
11、两边消去 5 lg n a并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则 lg35 lg 25 xx xyy ，故 lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入 11 式，得 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg 2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan12 由 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg 710 41644164 a及12 式， 得 lg3lg3lg 2 lg0 4164 n an， 则 1 lg3lg3lg 2 lg(1) 4164 5 lg3lg3lg 2 lg 4164 n n an an ， 所以数列 lg3lg3lg 2 lg
12、4164 n an是以 lg3lg3lg 2 lg 7 4164 为首项，以5 为公比的等 比数列，则 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg 2 lg(lg 7)5 41644164 n n an，因此 1 1 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2 lg(lg 7)5 4164464 (lg 7lg 3lg 3lg 2 )5lg 3lg 3lg 2 lg(7332 )5lg(332 ) lg(7 332 )5lg(332 ) lg(733 n n n n n n
13、 n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2) lg(732) n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 5 1 23 n nn aa转化为 立身以立学为先，立学以读书为本 1 lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan，从而可知数列 lg3lg3lg 2 lg 4164 n an是等比数列，进而求出数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an的通项 公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 八、迭代法
14、例 11 已知数列 n a满足 3(1)2 11 5 n n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 解：因为 3(1)2 1 n n nn aa，所以 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 2(2)(1) 32(2)(1) 3(3)(2) (1) 11 2(3) (2)(1) (1) 1 2 3 (1)2 2 3(2) 23 (1)2 3 3 (2)(1)2 3 32 3(2) (1)2 1 3! 2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn n nnn n a a a a a 又 1 5a，所以数列 n a的通项公式为 (
15、1) 1 2 3! 2 5 n n n n n a。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 3(1)2 1 n n nn aa 两边取常用对数得 1 lg3(1)2lg n nn ana，即 1 lg 3(1)2 lg nn n a n a ，再由累乘法可推知 (1) 1 2 3! 2132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n nnn n nn aaaa aa aaaa ，从而 1(1) 3! 2 2 5 nn n n n a。 九、数学归纳法 例 12 已知数列 n a满足 1122 8(1)8 (21) (23)9
16、nn n aaa nn ， 求数列 n a的通项公式。 解：由 122 8(1) (21) (23) nn n aa nn 及 1 8 9 a，得 立身以立学为先，立学以读书为本 21 22 3222 4322 8(1 1)88224 (21 1) (213)992525 8(21)248348 (221) (223)25254949 8(31)488480 (231) (233)49498181 aa aa aa 由此可猜测 2 2 (21)1 (21) n n a n ，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n时， 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a ，所以等式成立。 （2）假设当nk时等式成立，即 2 2 (21)1 (21) k k a k ，则当1nk时， 1 22 8(1) (21) (23) kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)
