《【南航 高等数学】1(2)数列极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【南航 高等数学】1(2)数列极限（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 预预习习收敛数列的性质收敛数列的性质 ( (有界有界/ /唯一唯一/ /保号性保号性) ) 取定值，怎么取？取定值，怎么取？证明过程中为何给证明过程中为何给 看懂证明过程看懂证明过程 两类函数极限的定义两类函数极限的定义 函数极限的定义函数极限的定义 联系？联系？数列定义有联系？什么数列定义有联系？什么哪类函数极限的定义与哪类函数极限的定义与 极限的主要内容 www.themegallery.co m 数列的极限数列的极限 函数的极限函数的极限 求极限求极限 定义定义 运算法则运算法则 存在准则存在准则 极限 无穷小量无穷小量 推推 广广 求极限求极限 连续性连续性 3 极限概念的引入极限
2、概念的引入 收敛数列的性质收敛数列的性质 数列极限的概念数列极限的概念 数列的概念数列的概念 第二节第二节数列的极限数列的极限 “数学来源于现实，并且用于现实。数学来源于现实，并且用于现实。” -著名数学教育家著名数学教育家 H. H. 弗洛登塔尔弗洛登塔尔 4 数列数列： 按照按照正自然数正自然数1,2,3,的顺序排列的一列数的顺序排列的一列数 , 21n xxx 简记为简记为的的称为数列称为数列其中其中 nn xx 通项通项(generalterm), 或者或者一般项一般项. , n x 数列的极限数列的极限 一、数列一、数列(sequence of number)的概念的概念 5 如如;
3、,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n ;,)1( , 1 , 1, 1 1 + + n1 ( 1) n+ + ;, )1( , 3 4 , 2 1 , 2 1 n n n + + )1( 1 n n n + + 注： (1)数列含有数列含有无穷无穷多个项多个项。 .)3(表示一个数列表示一个数列表示一个项，表示一个项， nn xx 6 (2)数列的项是数列的项是有次序的有次序的。 7 可看作一可看作一动点动点在数轴上依次取在数轴上依次取., 21 n xxx 1 x 2 x 3 x 4 x n x 数列的数列的(两种两种)几
4、何表示法几何表示法: (1)数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列. 数列的极限数列的极限 8 数列的极限数列的极限 (2) 在平面上在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 注注 不可将这串点连成曲线不可将这串点连成曲线. on xn 1 2 3 4 则数列的则数列的几何表示几何表示是是 平面上平面上一串分离一串分离的点的点. . 数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数: )(nfx n = =整标函数整标函数或或下标函数下标函数 9 二、极限概念的引入二、极限概念的引入 庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇
5、天下篇 “一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭”万世不竭”. 意思是意思是: 一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半, 第二第二 天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一 半半, 这样永远也取不完这样永远也取不完. 数列的极限数列的极限 中写道中写道: 10 12 , n l ll 0 数列的极限数列的极限 第一天留下的长度第一天留下的长度 1 1 2 l = = 第二天留下的长度第二天留下的长度 2 1 4 l = = . 第第n天留下的长度天留下的长度 1 2 nn l = = . 11 正六边形的面积正六边形的面积 1 A 正
6、十二边形的面积正十二边形的面积 2 A 正正边形的面积边形的面积 1 26 n n A , 321n AAAAS R 数列的极限数列的极限 刘徽刘徽(三世纪三世纪)的的“割圆术”“割圆术”中说中说: “割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不可以至不可 割割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.” . 26 2 ,sin23 )1( 2)1( = = = = n n n RA 前面两个例子的共同变化趋势： 当 n 无限增大时, 数列的一般项无限接近某一确定值 a。 我们将这一现象抽象为数列极限的概念数列极限的概念。 12 . : axn ax n n 无限接近于
7、无限接近于无限增大时，无限增大时，当当 的极限为的极限为 13 12 , n l ll0 数列的极限数列的极限 数列数列的极限是 数列数列, 321n AAAA的极限是 S 数列的极限数列的极限就是就是研究数列的研究数列的变化趋势变化趋势! 14 . )1( 1 1 时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列+ + + n n n 三、数列极限三、数列极限的概念的概念 , )1( 1 5 6 4 3 3 4 2 1 2 1 n n + +， 15 n=19n=32 n=42 n=50 16 问题问题1: “无限接近”意味着什么无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.
8、. 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n + += = 通过演示实验的观察通过演示实验的观察: 17 1 n x即即1) 1 )1(1( 1 + += = n n 1 n x可以无限的小可以无限的小, 这要看这要看1 n x “接近”接近”可以用数学中“可以用数学中“距离距离”来刻划！”来刻划！ | n 1 = = 只要只要n充分大，充分大， 小到什么要求小到什么要求. 数列的极限数列的极限 当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1. n x 18 1 n x可以可以 无限无限 的小。的小。只要只要n充分大，充分大， 数列的极限数列的
9、极限 0, 1 |1| n n x n = 对于只要 充分大，总有 成立。 任意小的正数 问题问题2: 如何用数学语言刻画如何用数学语言刻画 n 充分大？充分大？ 任意任意 有多小有多小究竟要多大，要看究竟要多大，要看 n 19 1 , 100 取 , 100 11 n 由由, 100 1 1 n x有有 1 , 1000 取 ,1000时时只要只要 n , 10000 1 1 n x有有 1 , 10000 取 ,10000时时只要只要 n , 1000 1 1 n x有有 .1成立成立总有总有 n x 数列的极限数列的极限 , 0 对任意小的对任意小的 0, 1 |1| n n x n =
10、 对于只要 充分大，总有 成立。 ，只要只要 1 n N= = 时，时，只要只要100 n 1 = = 1 = = 1 = = n x 21 当当 n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1. , 0 对对 成立。成立。总有总有 1 n x 时，时，当当Nn ， + + NN 注： N的选取是否唯一？ 111 ,1,2,NNN =+=+=+=+ 22 N与与有关，但不是有关，但不是 的函数的函数 1 , 100 取 , 100 11 n 由由 1 100,n =只要只要, 100 1 1 n x有有 23 当当 n无限增大无限增大时时, n x 无限接近无限接近于于1. , 0 对对 成
11、立。成立。总有总有 1 n x 时，时，当当Nn ， + + NN)( 24 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), 总存在正整数总存在正整数N,使得对于 使得对于时的一切时的一切Nn , n x 不等式不等式 axn 成立成立. 收敛收敛于于a (converge to a) . n x或称数列或称数列 记为记为 ,limaxn n = = 或或).( naxn 那么就称常数那么就称常数a是数列是数列 n x 的的极限极限(limit), 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列就说数列发散发散(diverge). 数列的极限数列的极限 25
12、 ,有关有关与给定的与给定的 N xn有没有极限有没有极限, 一般记为一般记为 ,是任意给定的是任意给定的正数正数 但是一旦给出之后但是一旦给出之后, 它就是确定了它就是确定了; 主要看“后面”的主要看“后面”的无穷多项无穷多项. 数列的极限数列的极限 (1) (2) (3) (4)“前面”前面” 的的有限项有限项不起作用不起作用, ;的的无限接近无限接近与与刻划了刻划了 不等式不等式 axax nn N()N() 注: , 0 ,NN + + ,时时当当Nn (0). n xaMM 恒有恒有 成立。成立。 26 采用采用逻辑符号逻辑符号将将axn n = = lim的定义可缩写为的定义可缩写
13、为: N 定义定义 注：注：M 是正常数。是正常数。 27 x 1 x 2 x 2+ +N x 1+ +N x 3 x 数列极限的几何意义数列极限的几何意义 2 a + +a a ,时时当当Nn 数列数列极限的定义极限的定义通常是用来通常是用来证明极限证明极限，注注 道极限值是多少道极限值是多少. 而不是用来求极限而不是用来求极限 , 因为这里需要预先知因为这里需要预先知 .)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N 数列的极限数列的极限 + + axa n )(Nn ),( aUxn axn 即即 )(Nn ,),(内内都落在都落在所有的点所有的点 + + aaxn 28
14、 1 , 100 取 , 100 11 n 由由 1 100,n =只要只要, 100 1 1 n x有有 1 , 1000 取 ,1000时时只要只要 n , 10000 1 1 n x有有 1 , 10000 取 ,10000时时只要只要 n , 1000 1 1 n x有有 .1成立成立总有总有 n x 数列的极限数列的极限 , 0 对任意小的对任意小的 1 nN =只要只要 用定义证明极限的思路： 用定义证明极限的思路： ,. 1出发出发从从 ax n )( fn 推导出不等式推导出不等式 29 成立。成立。 时，是否有时，是否有当当验证取验证取 = = ax NnfN n , )(.
15、 2 30 例例. 1 )1( lim 1 = = + + n n n n 证明证明 1 )1( 1 + + = = n n n n 1 = = , 0 ,1 n x要使要使, 1 n 即即 1 n只要只要 , 1 = =N取取,时时则当则当Nn + + 1 )1( 1 n n n 有有. 1 )1( lim 1 = = + + n n n n 即即 证证1 n x 解不等式解不等式 数列的极限数列的极限 = = n n 1 lim 0 31 例例 证明数列证明数列以以 0为为 极限极限. ）、321( 2 cos 1 = = =n n n xn , 0 证证要使要使0 2 cos 1 0 = = n n xn 由于由于0 2 cos 1 n n , 1 n 只要只要, 1 n即即, 1 = =N取取 ,时时则当则当Nn 有有.0 2 cos 1 n n
